Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di primo grado

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di primo grado #52363

avt
CarFaby
Templare
In un esercizio mi viene chiesto di discutere un'equazione parametrica al variare di un parametro reale, ma sinceramente non so come si possa fare. Ho bisogno del vostro aiuto.

Discutere al variare del parametro reale k, l'insieme delle soluzioni associato all'equazione parametrica di primo grado

\frac{x}{2}+\frac{kx+2}{3}=\frac{(k-1)x}{4}

Grazie.
 
 

Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di primo grado #52373

avt
Omega
Amministratore
Il problema ci chiede di analizzare l'equazione parametrica di primo grado

\frac{x}{2}+\frac{kx+2}{3}=\frac{(k-1)x}{4}

esplicitando l'insieme delle soluzioni al variare del parametro reale k.

Il procedimento consta di semplici passaggi algebrici: dobbiamo ricondurci alla forma normale delle equazioni di primo grado e impostare in seguito la discussione.

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

\frac{6x+4(kx+2)}{12}=\frac{3(k-1)x}{12}

e cancelliamoli, ricavando così l'equazione equivalente

6x+4(kx+2)=3(k-1)x

Espandiamo i prodotti e trasportiamo tutti i termini con l'incognita x al primo membro e quelli senza incognita al secondo:

\\ 6x+4kx+8=3kx-3x \\ \\ 6x+4kx-3kx+3x=-8 \\ \\ (9+k)x=-8

Ci siamo finalmente ricondotti alla forma normale. Intavoliamo la discussione, osservando che il valore del coefficiente di x dipende dal parametro k.

Se il coefficiente di x è uguale a zero, vale a dire se

9+k=0 \ \ \to \ \ k=-9

ci riconduciamo a un'equazione senza incognite

0\cdot x=-8 \ \ \to \ \ 0=-8

dunque l'equazione non ammette soluzione ed è pertanto impossibile.

Se il coefficiente di x è diverso da zero, ossia se

9+k\ne 0 \ \ \to \ \ k\ne -9

allora possiamo dividere i due membri per 9+k, ricavando così la soluzione dell'equazione

x=-\frac{8}{9+k}

È giunto il momento di scrivere per bene le conclusioni:

- se k\ne -9, l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione x=-\frac{8}{9+k};

- se k=-9, l'equazione è impossibile e il suo insieme delle soluzioni è vuoto.

Abbiamo terminato.
Ringraziano: CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os