Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica di primo grado

In un esercizio mi viene chiesto di discutere un'equazione parametrica al variare di un parametro reale, ma sinceramente non so come si possa fare. Ho bisogno del vostro aiuto.

Discutere al variare del parametro reale , l'insieme delle soluzioni associato all'equazione parametrica di primo grado



Grazie.

Il problema ci chiede di analizzare l'equazione parametrica di primo grado



esplicitando l'insieme delle soluzioni al variare del parametro reale .

Il procedimento consta di semplici passaggi algebrici: dobbiamo ricondurci alla forma normale delle equazioni di primo grado e impostare in seguito la discussione.

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori



e cancelliamoli, ricavando così l'equazione equivalente



Espandiamo i prodotti e trasportiamo tutti i termini con l'incognita al primo membro e quelli senza incognita al secondo:



Ci siamo finalmente ricondotti alla forma normale. Intavoliamo la discussione, osservando che il valore del coefficiente di dipende dal parametro .

Se il coefficiente di è uguale a zero, vale a dire se



ci riconduciamo a un'equazione senza incognite



dunque l'equazione non ammette soluzione ed è pertanto impossibile.

Se il coefficiente di è diverso da zero, ossia se



allora possiamo dividere i due membri per , ricavando così la soluzione dell'equazione



È giunto il momento di scrivere per bene le conclusioni:

- se , l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione ;

- se , l'equazione è impossibile e il suo insieme delle soluzioni è vuoto.

Abbiamo terminato.