Equazione logaritmica con argomento di secondo grado

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Equazione logaritmica con argomento di secondo grado #52262

avt
matdom
Cerchio
Chiedo il vostro aiuto per risolvere un'equazione con il logaritmo naturale. Ho provato più volte a risolverla ma il risultato non vuole proprio venire fuori.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione logaritmica

\ln(x^2-1)=0

Come si fa? Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Hesse
 
 

Equazione logaritmica con argomento di secondo grado #52567

avt
DottorBoss
Cerchio
L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione logaritmica

\ln(x^2-1)=0

nel primo membro della quale compare il logaritmo naturale. Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le condizioni di esistenza: il logaritmo infatti richiede che il proprio argomento sia positivo, in caso contrario perde di significato.

C.E.:\ x^2-1>0

La disequazione di secondo grado è facilmente risolvibile ed è soddisfatta per valori minori di -1 oppure per valori maggiori di 1. Scriveremo pertanto:

C.E.:\ x<-1 \ \ \ \vee \ \ \ x>1

dove \vee è il connettivo logico che indica la congiunzione "o".

Fortunatamente, l'equazione è già espressa in una forma di cui conosciamo il metodo risolutivo: è sufficiente applicare a sinistra e a destra dell'uguale l'esponenziale in base e

e^{\ln(x^2-1)}=e^{0}

e applicare la definizione stessa di logaritmo, grazie alla quale l'equazione diventa

x^2-1=1 \ \ \ \to \ \ \ x^2=2

Ci siamo ricondotti a un'equazione pura, avente per soluzioni

x_{1}=-\sqrt{2}\ \  \ ,\ \ \ x_2=\sqrt{2}

Osserviamo che i valori ottenuti soddisfano le condizioni imposte inizialmente, ecco perché sono entrambe soluzionin dell'equazione data. Concludiamo quindi che l'equazione

\ln(x^2-1)=0

ammette come soluzioni

x=-\sqrt{2}\  \ \ , \ \ \ x=\sqrt{2}

Abbiamo finito.
Ringraziano: matdom
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Os