Equazione logaritmica con argomento di secondo grado

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Equazione logaritmica con argomento di secondo grado #52262

matdom Cerchio	Chiedo il vostro aiuto per risolvere un'equazione con il logaritmo naturale. Ho provato più volte a risolverla ma il risultato non vuole proprio venire fuori. Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione logaritmica $\ln(x^2-1)=0$ Come si fa? Grazie.
	Ringraziano: Omega, Pi Greco, Hesse

Equazione logaritmica con argomento di secondo grado #52567

DottorBoss

Cerchio

L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione logaritmica

$\ln(x^2-1)=0$

nel primo membro della quale compare il logaritmo naturale. Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le condizioni di esistenza: il logaritmo infatti richiede che il proprio argomento sia positivo, in caso contrario perde di significato.

$C.E.:\ x^2-1>0$

La disequazione di secondo grado è facilmente risolvibile ed è soddisfatta per valori minori di -1 oppure per valori maggiori di 1. Scriveremo pertanto:

$C.E.:\ x<-1 \ \ \ \vee \ \ \ x>1$

dove $\vee$ è il connettivo logico che indica la congiunzione "o".

Fortunatamente, l'equazione è già espressa in una forma di cui conosciamo il metodo risolutivo: è sufficiente applicare a sinistra e a destra dell'uguale l'esponenziale in base

$e^{\ln(x^2-1)}=e^{0}$

e applicare la definizione stessa di logaritmo, grazie alla quale l'equazione diventa

$x^2-1=1 \ \ \ \to \ \ \ x^2=2$

Ci siamo ricondotti a un'equazione pura, avente per soluzioni

$x_{1}=-\sqrt{2}\ \ \ ,\ \ \ x_2=\sqrt{2}$

Osserviamo che i valori ottenuti soddisfano le condizioni imposte inizialmente, ecco perché sono entrambe soluzionin dell'equazione data. Concludiamo quindi che l'equazione

$\ln(x^2-1)=0$

ammette come soluzioni

$x=-\sqrt{2}\ \ \ , \ \ \ x=\sqrt{2}$

Abbiamo finito.

Ringraziano: matdom

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