Disequazione fratta con due moduli - esercizio

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Disequazione fratta con due moduli - esercizio #51987

avt
Robert96
Punto
Ciao, è la prima volta che scrivo su questo forum, ho un esercizio con una disequazione fratta con due moduli. Sono alle prese con questa disequazione:

\frac{|x^{2}|-2x-8}{|6x-9|}>-2x+5

Riesco anche ad impostarla in teoria, discutendo i due moduli e considerando i vari intervalli, ma quando sto per trovare il risultato, non corrisponde mai con quello del libro, che è x>\frac{37}{13}

Vi ringrazio di nuovo per la disponibilità.
 
 

Disequazione fratta con due moduli - esercizio #51989

avt
Galois
Amministratore
Ciao Robert96 emt

Il tuo messaggio è stato cancellato diverse volte perché il nostro regolamento prevede di postare anche lo svolgimento (errato o corretto che sia). Lo so, può essere lungo farlo.. ma com'è lungo per te è lungo anche per noi, quindi.. emt

Disequazione fratta con due moduli - esercizio #51992

avt
Robert96
Punto
Ho studiato anzitutto i due moduli:

x^{2}>=0 quindi per ogni x
6x-9>=0 quindi per x>=\frac{3}{2}

Disequazione fratta con due moduli - esercizio #52011

avt
Galois
Amministratore
Allora, devi risolvere una disequazione in valore assoluto (click!)

Iniziamo, come hai ben fatto, con lo studio dei moduli:

x^2 \geq 0 che vale per ogni x \in \mathbb{R}

6x-9 \textgreater 0 \ \Leftrightarrow \ x \textgreater \frac{3}{2}

Attenzione che, stando a denominatore si pone solo maggiore di zero, e non maggiore o uguale emt

Con lo studio fatto la nostra disequazione si spezza in:

1) \left\{ \begin{matrix} x \textgreater \frac{3}{2} \\ \frac{x^2-2x-8}{6x-9} \textgreater -2x+5\end{matrix}

UNIONE

2) \left\{ \begin{matrix} x \textless \frac{3}{2} \\ \frac{x^2-2x-8}{-6x+9} \textgreater -2x+5\end{matrix}

Passiamo alla risoluzione del primo sistema di disequazioni (click!)

La prima disequazione che compone il sistema è apposto. Passiamo alla seconda:

\frac{x^2-2x-8}{6x-9} \textgreater -2x+5

Dopo qualche conticino dovresti arrivare a:

\frac{13x^2-50x+37}{6x-9} \textgreater 0

Che è una disequazione fratta. Procediamo quindi con lo studio del numeratore (disequazione di secondo grado) e del denominatore (disequazione di primo grado).

Numer: 13x^2-50x+37 \textgreater 0 \ \Leftrightarrow \ x \textless 1 \vee x \textgreater \frac{37}{13}

Denom: x \textgreater \frac{3}{2}


disequazione_fratta




Ovvero la nostra disequazione è verificata per:

1 \textless x \textless \frac{3}{2} \vee x\textgreater \frac{37}{13}

Il nostro primo sistema diventa quindi:

1) \left\{ \begin{matrix} x \textgreater \frac{3}{2} \\ 1 \textless x \textless \frac{3}{2} \vee x\textgreater \frac{37}{13}\end{matrix}

che ha come soluzione:

x \textgreater \frac{37}{13}


Passiamo ora al secondo sistema:

La prima disequazione è apposto, per la seconda, dopo qualche conticino arrivi ad avere:

\frac{-11x^2+46x-54}{-6x+9} \textgreater 0

ovvero raccogliendo il meno a numeratore e denominatore e semplificandoli:

\frac{11x^2-46x+54}{6x-9} \textgreater 0

Procedi come prima. Vedrai che il numeratore è sempre positivo, mentre dal denominatore ottieni

x \textgreater \frac{3}{2}

e quindi il secondo sistema si riconduce a


2) \left\{ \begin{matrix} x \textless \frac{3}{2} \\ x\textgreater \frac{3}{2}\end{matrix}

ed è quindi impossibile


La soluzione della nostra disequazione sarà pertanto:

x \textgreater \frac{37}{13}


Ti invito caldamente a leggere le lezioni che ti ho linkato emt

PS: quello proposto da te non era un tentativo di risoluzione. La prossima volta cerca di fare meglio emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Robert96
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