Equazione fratta irrazionale con i radicali

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Equazione fratta irrazionale con i radicali #50653

avt
AlessioMate
Punto
Mi è capitata un'equazione irrazionale fratta che non sono in grado di risolvere. Da quello che ho capito, dovrei razionalizzare i denominatori con le radici, ma svolgendo i vari calcoli, ottengo un'equazione di terzo grado che non so risolvere. Devo forse usare il metodo di Ruffini?

Determinare le soluzioni dell'equazione irrazionale fratta

\frac{2+x}{\sqrt{2}+\sqrt{2+x}}+\frac{2-x}{\sqrt{2}-\sqrt{2+x}}=2\sqrt{2}

Grazie.
 
 

Equazione fratta irrazionale con i radicali #50660

avt
xavier310
Sfera
Cominciamo la risoluzione dell'equazione fratta

\frac{2+x}{\sqrt{2}+\sqrt{2+x}}+\frac{2-x}{\sqrt{2}-\sqrt{2+x}}=2\sqrt{2}

imponendo le condizioni di esistenza: poiché le radici hanno indice pari richiederemo che i radicandi siano non negativi, inoltre imporremo la non nullità dei denominatori che contengono l'incognita.

\begin{cases}2+x\ge 0 \\ \\ \sqrt{2}+\sqrt{2+x}\ne 0 \\ \\ \sqrt{2}-\sqrt{2+x}\ne 0\end{cases}

Analizziamo singolarmente le relazioni che compongono il sistema partendo dalla prima: è una semplice disequazione di primo grado che si risolve isolando l'incognita al primo membro.

2+x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -2

Analizziamo la seconda relazione che risolviamo rivedendola come un'equazione irrazionale

\sqrt{2}+\sqrt{2+x}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \sqrt{2+x}\ne -\sqrt{2}

Essa è chiaramente soddisfatta per ogni x\ge -2 perché la radice (positiva o al più nulla) sarà certamente diversa dalla quantità negativa -\sqrt{2}.

Consideriamo l'ultima disuguaglianza

\sqrt{2}-\sqrt{2+x}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \sqrt{2+x}\ne \sqrt{2}

Per x\ge -2 eleviamo al quadrato i due membri così da eliminare le radici

2+x\ne 2 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0

Il sistema costruito con le condizioni di esistenza si riscrive come

\begin{cases}x\ge -2 \\ \\ x\ge -2 \\ \\ x\ge -2 \ \wedge \ x\ne 0\end{cases}

da cui ricaviamo

C.E.: \ x\ge -2 \ \wedge \ x\ne 0

Ora che conosciamo le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i passaggi, il primo dei quali consiste nella razionalizzazione dei denominatori: moltiplichiamo e dividiamo la prima frazione per \sqrt{2}-\sqrt{2+x}, mentre moltiplichiamo e dividiamo la seconda per \sqrt{2}+\sqrt{2+x}.

\frac{(2+x)(\sqrt{2}-\sqrt{2+x})}{(\sqrt{2}+\sqrt{2+x})(\sqrt{2}-\sqrt{2+x})}+\frac{(2-x)(\sqrt{2}+\sqrt{2+x})}{(\sqrt{2}-\sqrt{2+x})(\sqrt{2}+\sqrt{2+x})}=2\sqrt{2}

Eseguiamo i prodotti ai denominatori con la regola sul prodotto di una somma per una differenza, ottenendo così la seguente equazione:

\\ \frac{(2+x)(\sqrt{2}-\sqrt{2+x})}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{2+x})^2}+\frac{(2-x)(\sqrt{2}+\sqrt{2+x})}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{2+x})^2}=2\sqrt{2} \\ \\ \\ \frac{(2+x)(\sqrt{2}-\sqrt{2+x})}{2-2-x}+\frac{(2-x)(\sqrt{2}+\sqrt{2+x})}{2-2-x}=2\sqrt{2}\\ \\ \\ \frac{(2+x)(\sqrt{2}-\sqrt{2+x})}{-x}+\frac{(2-x)(\sqrt{2}+\sqrt{2+x})}{-x}=2\sqrt{2}

Scriviamo a denominatore comune le due frazioni

\frac{(2+x)(\sqrt{2}-\sqrt{2+x})+(2-x)(\sqrt{2}+\sqrt{2+x})}{-x}=2\sqrt{2}

e moltiplichiamo i due membri per -x così da cancellare il denominatore

\\ (2+x)(\sqrt{2}-\sqrt{2+x})+(2-x)(\sqrt{2}+\sqrt{2+x})=2\sqrt{2}(-x) \\ \\ (2+x)(\sqrt{2}-\sqrt{2+x})+(2-x)(\sqrt{2}+\sqrt{2+x})=-2\sqrt{2}x

Effettuando i due prodotti e sommando i termini simili, l'equazione diventa

4\sqrt{2}-2x\sqrt{2+x}=-2\sqrt{2}x

Isoliamo la radice quadrata al primo membro

-2x\sqrt{2+x}=-2\sqrt{2}x-4\sqrt{2}

dividiamo tutti i termini per -2x

\sqrt{2+x}=\frac{\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x}

Ci siamo ricondotti a un'equazione irrazionale espressa in forma normale. Prima di elevare al quadrato, bisogna imporre la condizione di concordanza: il secondo membro dev'essere non negativo, proprio perché il primo membro lo è.

C.C.: \ \frac{\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x}\ge 0

Risolviamo la disequazione fratta di primo grado analizzando separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore

\\ N\ge 0 \ : \ \sqrt{2}x+2\sqrt{2}\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-2 \\ \\ \\ D>0 \ : \ x>0

Una volta creata la tabella dei segni, scopriamo che la disequazione fratta è soddisfatta se x sottostà ai vincoli

x\le -2 \ \ \ \vee \ \ \ x>0

Sotto la condizione di concordanza, siamo autorizzati a elevare al quadrato i due membri dell'equazione

\sqrt{2+x}=\frac{\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x}

ottenendo

2+x=\left(\frac{\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x}\right)^2

Sfruttiamo le proprietà delle potenze per poter semplificare l'espressione del membro di destra

2+x=\frac{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})^2}{x^2}

e sviluppiamo il quadrato di binomio al numeratore

\\ 2+x=\frac{(\sqrt{2}x)^2+(2\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}x\cdot 2\sqrt{2}}{x^2} \\ \\ \\ 2+x=\frac{2x^2+8+8x}{x^2}

Moltiplichiamo a sinistra e a destra per x^2

x^2(2+x)=2x^2+8+8x

sviluppiamo il prodotto, trasportiamo tutti i termini al primo membro e sommiamo i monomi simili

\\ 2x^2+x^3=2x^2+8+8x \\ \\ 2x^2-2x^2+x^3-8x-8=0 \\ \\ x^3-8x-8=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di grado superiore al secondo scomponibile con la regola di Ruffini.

Indichiamo con P(x) il polinomio che compone il primo membro

P(x)=x^3-8x-8

Esso ha termine noto pari a -8 e coefficiente direttivo uguale a 1. Proprio perché il coefficiente del termine di grado massimo è 1, la radice razionale che consente di usare il metodo sarà necessariamente un divisore intero del termine noto.

\mbox{Divisori interi di }-8=\{\pm 1, \ \pm 2,\ \pm 4, \ \pm 8\}

Valutiamo P(x) in ciascuno di tali valori, fermandoci una volta determinato quel valore che annulla il polinomio. In questo caso, il valore che consente di usare la regola di Ruffini è x=-2, infatti

P(-2)=(-2)^3-8(-2)-8=-8+16-8=0

Costruiamo la tipica tabella di Ruffini, riportando i coefficienti di P(x) sulla prima riga e la radice razionale -2 sulla seconda, dopodiché completiamola attendendoci alla teoria

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&0&&-8&-8\\ &&&&&& \\ -2&&&-2&&4&8 \\ \hline &1&&-2&&-4&//\end{array}

In accordo con la regola di Ruffini, P(x) si scompone come segue

P(x)=(x-(-2))(x^2-2x-4)=(x+2)(x^2-2x-4)

dunque l'equazione

x^3-8x-8=0

diventa

(x+2)(x^2-2x-4)=0

Per poter ricavare le sue soluzioni, utilizziamo la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale otteniamo le seguenti equazioni

x+2=0 \ \ \ , \ \ \ x^2-2x-4=0

La prima è facile da risolvere ed è soddisfatta da x=-2. La seconda è invece un'equazione di secondo grado: risolviamola con la formula del delta quarti

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}=1\pm\sqrt{1+4}=\begin{cases}1-\sqrt{5}=x_1\\ \\ 1+\sqrt{5}=x_2\end{cases}

Le candidate soluzioni dell'equazione irrazionale sono quindi:

x=-2 \ \ \ , \ \ \ x=1-\sqrt{5} \ \ \ , \ \ \ x=1+\sqrt{5}

Attenzione! Accetteremo esclusivamente i valori che rispettano sia le condizioni di esistenza

C.E.: \ x\ge -2 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 0

sia le condizioni di concordanza

C.C.: x\le -2 \ \ \ \vee \ \ \ x>0

Sono soluzioni dell'equazione iniziale x=-2\ \mbox{e} \ x=1+\sqrt{5} mentre non lo è x=1-\sqrt{5} perché non realizza né le condizioni di esistenza, né le condizioni di concordanza.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os