Equazione con prodotto tra logaritmo e seno del seno

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Equazione con prodotto tra logaritmo e seno del seno #50257

avt
xavier310
Sfera
Non sono in grado di risolvere un esercizio che riguarda un'equazione con logaritmo e seno (è un'equazione trascendente mista). Di per sé, l'espressione dell'equazione non è nemmeno tanto minacciosa, però passaggio dopo passaggio, i calcoli diventano via via improponibili.

Risolvere la seguente equazione trascendente

\ln(x-10\pi)\sin(\pi\sin(x))=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, kameor, Hesse, Galois
 
 

Equazione con prodotto tra logaritmo e seno del seno #50284

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di ricavare gli eventuali valori di x che soddisfano l'equazione

\ln(x-10\pi)\sin(\pi\sin(x))=0

Prima di procedere con i calcoli, bisogna imporre le dovute condizioni di esistenza: a causa del logaritmo, dovremo pretendere che il binomio x-10\pi sia positivo:

C.E.:\ x-10\pi >0\ \ \ \to \ \ \ x>10\pi

Una volta determinata la condizione che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci della parte algebrica dell'esercizio, la cui risoluzione utilizza la legge di annullamento del prodotto. Essa garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero, in termini più espliciti:

\ln(x-10\pi)=0 \ \ \ , \ \ \ \sin(\pi\sin(x))=0

La prima è un'equazione logaritmica e può essere risolta applicando l'esponenziale ai due membri

\ln(x-10\pi)=0 \ \ \ \to \ \ \ x-10\pi=1 \ \ \ \to \ \ \  x=1+10\pi

Il valore ottenuto rispetta la condizione di esistenza, di conseguenza è soluzione dell'equazione data.

Per poter risolvere l'equazione trigonometrica

\sin(\pi\sin(x))=0

bisogna ricordare che il seno di un angolo è zero se e solo se l'angolo è un multiplo di \pi: questa proprietà consente di scrivere l'equazione

\pi\sin(x)=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Una volta divisi per \pi i due membri, otteniamo l'equazione parametrica

\sin(x)=k

che va studiata al variare del numero intero k. Poiché il seno è una funzione limitata da -1 e 1, ossia

-1\le \sin(x)\le 1 \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

dobbiamo richiedere che anche l'intero k sia compreso tra -1 e 1, in caso contrario

\sin(x)=k

non può ammettere soluzioni.

Assodato ciò, gli unici interi k compresi tra -1 e 1 sono

k=-1 \ \ \ , \ \ \ k=0 \ \ \ , \ \ \ k=1

pertanto siamo autorizzati a studiare l'equazione parametrica solo per questi valori.

Per k=-1, l'equazione diventa

\sin(x)=-1

da cui ricaviamo la famiglia di soluzioni

x=\frac{3\pi}{2}+2h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}

Per k=0, l'equazione parametrica si tramuta in

\sin(x)=0

ed è soddisfatta dalla famiglia

x=h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}

Infine se k=1, l'equazione \sin(x)=k diventa

\sin(x)=1

e ammette come soluzioni

x=\frac{\pi}{2}+2h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}

Una volta determinati i valori che soddisfano le tre equazioni, bisogna assicurarsi che le famiglie ottenute rispettino la condizione di esistenza, C.E. \ x>10\pi. In termini più espliciti, andiamo alla ricerca degli interi h per i quali i valori di ciascuna famiglia soddisfano il vincolo x>10\pi.

Se

x=\frac{3\pi}{2}+2h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}

il vincolo x>10\pi si traduce nella disequazione

\frac{3\pi}{2}+2h\pi>10\pi

che una volta divisi i membri per \pi, e isolata l'incognita al primo membro, diventa

h>\frac{17}{4}

Nota: il primo intero k maggiore di \frac{17}{4} è 5, ergo la precedete disuguaglianza è equivalente a h\ge 5.

In definitiva, i valori della prima famiglia che rispettano sia le condizioni di esistenza - e che quindi sono soluzioni dell'equazione - sono

x=\frac{3\pi}{2}+2h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z} \ \mbox{e} \ h\ge 5

Analizziamo la seconda famiglia. Se

x=h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}

allora la relazione x>10\pi si traduce nella disequazione

h\pi>10\pi \ \ \  \to \ \ \ h>10

pertanto x=h\pi è soluzione dell'equazione se e solo se h è un numero intero maggiore di 10.

Per quanto concerne la terza famiglia

x=\frac{\pi}{2}+2h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}

procediamo allo stesso modo: impostiamo la relazione x>10\pi che diventa

\frac{\pi}{2}+2h\pi>10\pi \ \ \ \to \ \ \ h>\frac{19}{4}

Nota: la relazione h>\frac{19}{4} è equivalente a h\ge 5 perché 5 è il più piccolo numero intero maggiore di \frac{19}{4}.

Della terza famiglia, prenderemo in considerazione esclusivamente i valori

x=\frac{\pi}{2}+2h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}\ \mbox{e} \ h\ge 5

Ricapitoliamo! L'equazione trascendente

\ln(x-10\pi)\sin(\pi\sin(x))=0

è soddisfatta dai seguenti valori:

\\ x=1+10\pi \\ \\ \\ x=\frac{3\pi}{2}+2h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z} \ \mbox{e} \ h\ge 5\\ \\ \\ x=h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\ge 6 \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{2}+2h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}\ \mbox{e} \ h\ge 5

Abbiamo finito.
Ringraziano: xavier310
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Os