Esercizio su cubo di binomio e proprietà delle potenze

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Esercizio su cubo di binomio e proprietà delle potenze #50019

avt
Giovanna95
Punto
Mi è capitato un esercizio sullo sviluppo del cubo di un binomio a esponenti letterali che non sono in grado di risolvere. Potete aiutarmi per favore?

Usare la regola del cubo di binomio per sviluppare la seguente espressione a esponenti letterali:

(2a^n-b^n)^3

Grazie mille.
 
 

Esercizio su cubo di binomio e proprietà delle potenze #50020

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nello sviluppare il cubo di binomio

(2a^n-b^n)^3

avvalendoci del prodotto notevole:

(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

Esso consente di esprimere il cubo della somma di due monomi come la somma tra il cubo del primo monomio, il triplo prodotto tra il quadrato del primo e il secondo, il triplo prodotto tra il primo e il quadrato del secondo e il cubo del secondo monomio.

Nel caso in esame, il primo e il secondo monomio sono rispettivamente

2a^n \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -b^n

pertanto siamo autorizzati a scrivere i seguenti passaggi algebrici:

(2a^n-b^n)^3=(2a^n)^3+3\cdot(2a^n)^2\cdot (-b^n)+3\cdot (2a^n)\cdot (-b^n)^2+(-b^n)^3=

A questo punto svolgiamo le potenze dei monomi aiutandoci con le sempreverdi proprietà delle potenze e la regola dei segni

=2^3(a^n)^3+3\cdot 2^2\cdot (a^n)^2\cdot (-b^n)+3\cdot 2a^n\cdot (b^n)^2-(b^{n})^3=

Prestiamo la massima attenzione alle potenze di a^n \ \mbox{e} \ b^n: per poterle semplificare dobbiamo fare ricorso alla regola relativa alla potenza di una potenza

\\ =8a^{3\cdot n}-12a^{2\cdot n}b^{n}+6a^{n}b^{2\cdot n}-b^{3\cdot n}= \\ \\ = 8a^{3n}-12a^{2n}b^n+6a^nb^{2n}-b^{3n}

Possiamo affermare che lo sviluppo del cubo di 2a^n-b^n è:

(2a^n-b^n)^3=8a^{3n}-12a^{2n}b^n+6a^{n}b^{2n}-b^{3n}

È fatta!
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