Fattorizzare un trinomio al variare di un parametro

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Fattorizzare un trinomio al variare di un parametro #50

avt
FAQ
Frattale
Mi è capitato un esercizio sulle scomposizioni di polinomi in cui mi viene chiesto di determinare la fattorizzazione di un polinomio al variare di un parametro k. Dovrei usare la regola del trinomio speciale, però non capisco come.

Usare la regola di scomposizione per il trinomio speciale per fattorizzare il polinomio

x^2-kx-2k^2

al variare del parametro k\in\mathbb{R}.
 
 

Fattorizzare un trinomio al variare di un parametro #51

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nello scomporre il polinomio

x^2-kx-2k^2

al variare del parametro reale k. Oltre a fornire il polinomio da scomporre, il testo dell'esercizio suggerisce la tecnica di fattorizzazione: dobbiamo usare la regola relativa al trinomio notevole.

Dato un trinomio di secondo grado e monico, ossia nella forma

x^2+sx+p

se riusciamo a determinare due numeri A\ \mbox{e} \ B la cui somma coincide con il coefficiente di x e il cui prodotto coincide con il termine noto, ossia:

A+B=s \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=p

allora

x^2+sx+p=(x+A)(x+B)

In questa occasione, i coefficienti del polinomio

x^2-kx-2k^2

dipendono dal parametro k e possono essere considerati alla stregua di monomi. Per questo motivo, la tecnica di scomposizione va leggermente modificata: ricerchiamo due monomi A\ \mbox{e} \ B tali che:

A+B=-k \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=-2k^2

Procedendo per tentativi, i monomi che fanno al caso nostro sono:

A=-2k \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=k

infatti

A+B=-2k+k=-k \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=(-2k)\cdot k=-2k^2

Alla luce di queste considerazioni, siamo in grado di esplicitare la scomposizione richiesta:

\\ x^2-kx-2k^2=(x+A)(x+B)=(x+(-2k))(x+k)= \\ \\ \\ =(x-2k)(x+k) \ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{R}

Abbiamo finito!
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Os