Esercizio equazione fratta con radici ed esponenziali

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Esercizio equazione fratta con radici ed esponenziali #49920

avt
gianpierovignola
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione fratta con esponenziali e radici. Sinceramente non so dove mettere mano per risolverla, nonostante il suggerimento dell'insegnante di approcciarla con una sostituzione.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione

(e^(x))/(√(e^(x)-3))-(e^(2x))/(2√((e^(x)-3)^3)) = 0

Grazie.
 
 

Esercizio equazione fratta con radici ed esponenziali #52236

avt
paul spider
Cerchio
Il nostro obiettivo consiste nel risolvere l'equazione fratta

(e^(x))/(√(e^(x)-3))-(e^(2x))/(2√((e^(x)-3)^3)) = 0

di cui però dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza.

Nell'equazione compare una radice con indice pari, pertanto richiederemo che i radicandi siano maggiori o al più uguali a zero. Le radici sono però al denominatore, e affinché siano diversi da zero, i loro radicandi devono essere positivi, ossia devono valere contemporaneamente i due vincoli:

e^(x)-3 > 0 e (e^(x)-3)^3 > 0

La prima è una disequazione esponenziale in cui l'esponenziale è maggiore di 1.

e^(x)-3 > 0 → e^(x) > 3

Applicato il logaritmo naturale a destra e a sinistra, ricaviamo

x > ln(3)

Per poter analizzare la disequazione

(e^(x)-3)^3 > 0

è sufficiente ricordare che una potenza con esponente dispari ha lo stesso segno della base, pertanto la potenza è positiva se e solo se lo è anche la base.

(e^(x)-3)^3 > 0 → e^(x)-3 > 0 → x > ln(3)

Possiamo affermare che l'equazione è ben posta se sussiste il vincolo

C.E.: x > ln(3)

Dopo aver ricavato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci dell'equazione

(e^(x))/(√(e^(x)-3))-(e^(2x))/(2√((e^(x)-3)^3)) = 0

che è possibile risolvere operando la sostituzione

t = e^(x) → t^2 = e^(2x)

Nota: poiché l'esponenziale è positiva, anche l'incognita ausiliaria t dev'esserlo, cioè t > 0. Grazie alla sostituzione, la relazione diventa

(t)/(√(t-3))-(t^2)/(2√((t-3)^3)) = 0

Razionalizziamo i denominatori, moltiplicando e dividendo entrambe le frazioni per √(t-3)

(t√(t-3))/((√(t-3))^2)-(t^2√(t-3))/(2√((t-3)^3)·√(t-3)) = 0

In accordo con le proprietà dei radicali

√((t-3)^3)·√(t-3) = √((t-3)^3·(t-3)) = √((t-3)^4) = (t-3)^2

dunque l'equazione diventa

(t√(t-3))/(t-3)-(t^2√(t-3))/(2(t-3)^2) = 0

Esprimiamo l'espressione al primo membro a denominatore comune

(2t(t-3)√(t-3)-t^2√(t-3))/((t-3)^2) = 0

da cui, cancellato (t-3)^2, otteniamo

2t(t-3)√(t-3)-t^2√(t-3) = 0

Raccogliamo il fattore comune √(t-3)

√(t-3)(2t(t-3)-t^2) = 0

e svolgiamo i calcoli

√(t-3)(2t^2-6t-t^2) = 0 ; √(t-3)(t^2-6t) = 0 ; √(t-3)·t(t-6) = 0

Interviene a questo punto la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale ricaviamo le seguenti equazioni

√(t-3) = 0 → t-3 = 0 → t = 3 ; t = 0 ; t-6 = 0 → t = 6

Non abbiamo ancora finito: dobbiamo ripristinare l'incognita x. Poiché t = e^(x), la relazione t = 3 si traduce nell'equazione esponenziale

e^(x) = 3 → x = ln(3)

la cui soluzione non può essere accettata per via delle condizioni di esistenza.

La relazione t = 0 si tramuta invece nell'equazione

e^(x) = 0

che però è impossibile giacché l'esponenziale è certamente positiva per ogni x.

Infine, t = 6 diventa

e^(x) = 6 → x = ln(6)

Tale valore rispetta le condizioni di esistenza ed è pertanto soluzione dell'equazione iniziale.
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