Esercizio equazione fratta con radici ed esponenziali

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Esercizio equazione fratta con radici ed esponenziali #49920

gianpierovignola Punto	Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione fratta con esponenziali e radici. Sinceramente non so dove mettere mano per risolverla, nonostante il suggerimento dell'insegnante di approcciarla con una sostituzione. Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione $\frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}-3}}-\frac{e^{2x}}{2\sqrt{(e^{x}-3)^3}}=0$ Grazie.

Esercizio equazione fratta con radici ed esponenziali #52236

paul spider

Cerchio

Il nostro obiettivo consiste nel risolvere l'equazione fratta

$\frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}-3}}-\frac{e^{2x}}{2\sqrt{(e^{x}-3)^3}}=0$

di cui però dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza.

Nell'equazione compare una radice con indice pari, pertanto richiederemo che i radicandi siano maggiori o al più uguali a zero. Le radici sono però al denominatore, e affinché siano diversi da zero, i loro radicandi devono essere positivi, ossia devono valere contemporaneamente i due vincoli:

$e^{x}-3>0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ (e^{x}-3)^3>0$

La prima è una disequazione esponenziale in cui l'esponenziale è maggiore di 1.

$e^{x}-3>0 \ \ \ \to \ \ \ e^{x}>3$

Applicato il logaritmo naturale a destra e a sinistra, ricaviamo

$x>\ln(3)$

Per poter analizzare la disequazione

$(e^{x}-3)^3>0$

è sufficiente ricordare che una potenza con esponente dispari ha lo stesso segno della base, pertanto la potenza è positiva se e solo se lo è anche la base.

$(e^{x}-3)^3>0 \ \ \ \to \ \ \ e^{x}-3>0 \ \ \ \to \ \ \ x>\ln(3)$

Possiamo affermare che l'equazione è ben posta se sussiste il vincolo

$C.E.:\ x>\ln(3)$

Dopo aver ricavato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci dell'equazione

$\frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}-3}}-\frac{e^{2x}}{2\sqrt{(e^{x}-3)^3}}=0$

che è possibile risolvere operando la sostituzione

$t=e^{x}\ \ \ \to \ \ \ t^2=e^{2x}$

Nota: poiché l'esponenziale è positiva, anche l'incognita ausiliaria

dev'esserlo, cioè

. Grazie alla sostituzione, la relazione diventa

$\frac{t}{\sqrt{t-3}}-\frac{t^2}{2\sqrt{(t-3)^3}}=0$

Razionalizziamo i denominatori, moltiplicando e dividendo entrambe le frazioni per $\sqrt{t-3}$

$\frac{t\sqrt{t-3}}{(\sqrt{t-3})^2}-\frac{t^2\sqrt{t-3}}{2\sqrt{(t-3)^3}\cdot\sqrt{t-3}}=0$

In accordo con le proprietà dei radicali

$\\ \sqrt{(t-3)^3}\cdot\sqrt{t-3}=\sqrt{(t-3)^3\cdot (t-3)}= \\ \\ =\sqrt{(t-3)^4}=(t-3)^2$

dunque l'equazione diventa

$\frac{t\sqrt{t-3}}{t-3}-\frac{t^2\sqrt{t-3}}{2(t-3)^2}=0$

Esprimiamo l'espressione al primo membro a denominatore comune

$\frac{2t(t-3)\sqrt{t-3}-t^2\sqrt{t-3}}{(t-3)^2}=0$

da cui, cancellato

, otteniamo

$2t(t-3)\sqrt{t-3}-t^2\sqrt{t-3}=0$

Raccogliamo il fattore comune $\sqrt{t-3}$

$\sqrt{t-3}(2t(t-3)-t^2)=0$

e svolgiamo i calcoli

$\\ \sqrt{t-3}(2t^2-6t-t^2)=0 \\ \\ \sqrt{t-3}(t^2-6t)=0 \\ \\ \sqrt{t-3}\cdot t(t-6)=0$

Interviene a questo punto la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale ricaviamo le seguenti equazioni

$\\ \sqrt{t-3}=0 \ \ \ \to \ \ \ t-3=0 \ \ \ \to \ \ \ t=3 \\ \\ t=0 \\ \\ t-6=0 \ \ \ \to \ \ \ t=6$

Non abbiamo ancora finito: dobbiamo ripristinare l'incognita

. Poiché $t=e^{x}$ , la relazione

si traduce nell'equazione esponenziale

$e^{x}=3\ \ \ \to \ \ \ x=\ln(3)$

la cui soluzione non può essere accettata per via delle condizioni di esistenza.

La relazione

si tramuta invece nell'equazione

$e^{x}=0$

che però è impossibile giacché l'esponenziale è certamente positiva per ogni

.

Infine,

diventa

$e^{x}=6\ \ \ \to \ \ \ x=\ln(6)$

Tale valore rispetta le condizioni di esistenza ed è pertanto soluzione dell'equazione iniziale.

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