Esercizio equazione fratta con radici ed esponenziali

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Esercizio equazione fratta con radici ed esponenziali #49920

avt
gianpierovignola
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione fratta con esponenziali e radici. Sinceramente non so dove mettere mano per risolverla, nonostante il suggerimento dell'insegnante di approcciarla con una sostituzione.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione

\frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}-3}}-\frac{e^{2x}}{2\sqrt{(e^{x}-3)^3}}=0

Grazie.
 
 

Esercizio equazione fratta con radici ed esponenziali #52236

avt
paul spider
Cerchio
Il nostro obiettivo consiste nel risolvere l'equazione fratta

\frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}-3}}-\frac{e^{2x}}{2\sqrt{(e^{x}-3)^3}}=0

di cui però dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza.

Nell'equazione compare una radice con indice pari, pertanto richiederemo che i radicandi siano maggiori o al più uguali a zero. Le radici sono però al denominatore, e affinché siano diversi da zero, i loro radicandi devono essere positivi, ossia devono valere contemporaneamente i due vincoli:

e^{x}-3>0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ (e^{x}-3)^3>0

La prima è una disequazione esponenziale in cui l'esponenziale è maggiore di 1.

e^{x}-3>0 \ \ \ \to \ \ \ e^{x}>3

Applicato il logaritmo naturale a destra e a sinistra, ricaviamo

x>\ln(3)

Per poter analizzare la disequazione

(e^{x}-3)^3>0

è sufficiente ricordare che una potenza con esponente dispari ha lo stesso segno della base, pertanto la potenza è positiva se e solo se lo è anche la base.

(e^{x}-3)^3>0 \ \ \ \to \ \ \ e^{x}-3>0 \ \ \ \to \ \ \ x>\ln(3)

Possiamo affermare che l'equazione è ben posta se sussiste il vincolo

C.E.:\ x>\ln(3)

Dopo aver ricavato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci dell'equazione

\frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}-3}}-\frac{e^{2x}}{2\sqrt{(e^{x}-3)^3}}=0

che è possibile risolvere operando la sostituzione

t=e^{x}\ \ \ \to \ \ \ t^2=e^{2x}

Nota: poiché l'esponenziale è positiva, anche l'incognita ausiliaria t dev'esserlo, cioè t>0. Grazie alla sostituzione, la relazione diventa

\frac{t}{\sqrt{t-3}}-\frac{t^2}{2\sqrt{(t-3)^3}}=0

Razionalizziamo i denominatori, moltiplicando e dividendo entrambe le frazioni per \sqrt{t-3}

\frac{t\sqrt{t-3}}{(\sqrt{t-3})^2}-\frac{t^2\sqrt{t-3}}{2\sqrt{(t-3)^3}\cdot\sqrt{t-3}}=0

In accordo con le proprietà dei radicali

\\ \sqrt{(t-3)^3}\cdot\sqrt{t-3}=\sqrt{(t-3)^3\cdot (t-3)}= \\ \\ =\sqrt{(t-3)^4}=(t-3)^2

dunque l'equazione diventa

\frac{t\sqrt{t-3}}{t-3}-\frac{t^2\sqrt{t-3}}{2(t-3)^2}=0

Esprimiamo l'espressione al primo membro a denominatore comune

\frac{2t(t-3)\sqrt{t-3}-t^2\sqrt{t-3}}{(t-3)^2}=0

da cui, cancellato (t-3)^2, otteniamo

2t(t-3)\sqrt{t-3}-t^2\sqrt{t-3}=0

Raccogliamo il fattore comune \sqrt{t-3}

\sqrt{t-3}(2t(t-3)-t^2)=0

e svolgiamo i calcoli

\\ \sqrt{t-3}(2t^2-6t-t^2)=0 \\ \\ \sqrt{t-3}(t^2-6t)=0 \\ \\ \sqrt{t-3}\cdot t(t-6)=0

Interviene a questo punto la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale ricaviamo le seguenti equazioni

\\ \sqrt{t-3}=0 \ \ \ \to \ \ \ t-3=0 \ \ \ \to \ \ \ t=3 \\ \\ t=0 \\ \\ t-6=0 \ \ \ \to \ \ \ t=6

Non abbiamo ancora finito: dobbiamo ripristinare l'incognita x. Poiché t=e^{x}, la relazione t=3 si traduce nell'equazione esponenziale

e^{x}=3\ \ \ \to \ \ \ x=\ln(3)

la cui soluzione non può essere accettata per via delle condizioni di esistenza.

La relazione t=0 si tramuta invece nell'equazione

e^{x}=0

che però è impossibile giacché l'esponenziale è certamente positiva per ogni x.

Infine, t=6 diventa

e^{x}=6\ \ \ \to \ \ \ x=\ln(6)

Tale valore rispetta le condizioni di esistenza ed è pertanto soluzione dell'equazione iniziale.
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Os