Il nostro obiettivo consiste nel risolvere l'
equazione fratta
di cui però dobbiamo innanzitutto imporre le
condizioni di esistenza.
Nell'equazione compare una
radice con indice pari, pertanto richiederemo che i radicandi siano maggiori o al più uguali a zero. Le radici sono però al denominatore, e affinché siano diversi da zero, i loro radicandi devono essere positivi, ossia devono valere contemporaneamente i due vincoli:
La prima è una
disequazione esponenziale in cui l'
esponenziale è maggiore di 1.
Applicato il
logaritmo naturale a destra e a sinistra, ricaviamo
Per poter analizzare la disequazione
è sufficiente ricordare che una
potenza con esponente dispari ha lo stesso segno della base, pertanto la potenza è positiva se e solo se lo è anche la base.
Possiamo affermare che l'equazione è ben posta se sussiste il vincolo
Dopo aver ricavato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci dell'equazione
che è possibile risolvere operando la sostituzione
Nota: poiché l'esponenziale è positiva, anche l'incognita ausiliaria

dev'esserlo, cioè

. Grazie alla sostituzione, la relazione diventa
Razionalizziamo i denominatori, moltiplicando e dividendo entrambe le frazioni per
In accordo con le
proprietà dei radicali
dunque l'equazione diventa
Esprimiamo l'espressione al primo membro a denominatore comune
da cui, cancellato

, otteniamo
Raccogliamo il fattore comune
e svolgiamo i calcoli
Interviene a questo punto la
legge di annullamento del prodotto grazie alla quale ricaviamo le seguenti equazioni
Non abbiamo ancora finito: dobbiamo ripristinare l'incognita

. Poiché

, la relazione

si traduce nell'
equazione esponenziale
la cui soluzione non può essere accettata per via delle condizioni di esistenza.
La relazione

si tramuta invece nell'equazione
che però è impossibile giacché l'esponenziale è certamente positiva per ogni

.
Infine,

diventa
Tale valore rispetta le condizioni di esistenza ed è pertanto soluzione dell'equazione iniziale.