Calcolo MCD e mcm di due monomi

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Calcolo MCD e mcm di due monomi #49563

avt
sandruccia
Sfera
Avrei bisogno di una mano per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra due monomi a coefficienti interi. Quello che mi lascia perplesso è proprio la negatività della parte numerica di uno dei due; come bisogna comportarsi in questo caso?

Determinare il MCD e il mcm dei seguenti monomi

-30 a b^2 c \ \ \ , \ \ \ 12 a^3 b^3 c

Grazie.
 
 

Calcolo MCD e mcm di due monomi #49589

avt
Omega
Amministratore
Per calcolare MCD e mcm dei monomi

-30 a b^2 c \ \ \ , \ \ \ 12 a^3 b^3 c

è sufficiente rifarsi alla teoria, però prima di intavolare i calcoli, analizziamo attentamente i monomi: il primo ha per coefficiente il numero intero -30 e per parte letterale a b^2c; il secondo invece ha per parte numerica 12 e per parte letterale a^3 b^3c.

Dopo l'analisi preliminare, calcoliamo il massimo comune divisore tra

-30 a b^2 c \ \ \ , \ \ \ 12 a^3 b^3 c

ossia quel monomio la cui parte letterale è composta esclusivamente dalle lettere comuni ai monomi, elevate ciascuna al più piccolo esponente con cui compaiono e la cui parte numerica coincide con il massimo comune divisore tra i numeri -30 e 12.

Per il momento occupiamoci della parte letterale del MCD:

- gli esponenti della lettera a sono 1 e 3, il più piccolo dei quali è 1;

- gli esponenti della lettera b sono 2 e 3, il più piccolo dei quali è 2;

- gli esponenti della lettera c sono entrambi 1.

Possiamo quindi affermare che la parte letterale del massimo comune divisore è ab^2c.

Occupiamoci della parte numerica, poiché i monomi sono a coefficienti interi, basta calcolare il massimo comune divisore tra 30 e 12 (il segno negativo del 30 può essere trascurato). Procediamo con la scomposizione in fattori primi dei due numeri

\begin{array}{r|c}30&2\\  15&3\\ 5&5\\ 1\end{array} \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{r|c}12&2\\ 6&2\\ 3&3 \\ 1\end{array}

pertanto

30=2\cdot 3\cdot 5 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 12=2^2\cdot 3

Il loro massimo comune divisore coincide con il prodotto dei fattori comuni presi una sola volta con il più piccolo esponente, ossia

MCD(30,\ 12)=2\cdot 3= 6

Abbiamo tutte le informazioni necessarie per affermare che il massimo comune divisore tra i monomi dati è:

MCD(-30 a b^2 c, \ 12 a^3 b^3 c)=6ab^2c

Calcoliamo ora il minimo comune multiplo tra i monomi tenendo a mente che esso è il monomio la cui parte letterale è formata dalle lettere comuni e non comuni con l'esponente più grande, mentre la sua parte numerica coincide con il minimo comune multiplo dei coefficienti.

Il minimo comune multiplo tra -30 e 12 è il prodotto tra i fattori delle scomposizioni comuni e non comuni, presi una sola volta e con il più grande esponente

mcm(-30,12)=2^2\cdot 3\cdot 5= 60

Nota: il segno negativo non ha influito sul mcm. Il calcolo della parte letterale è immediata: a^3b^3c. In definitiva, possiamo concludere che il minimo comune multiplo tra i due monomi è:

mcm(-30 a b^2c,\ 12 a^3 b^3 c)=60 a^3b^3 c

Abbiamo terminato.
Ringraziano: xavier310, matteo, AntonioD
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Os