Equazione con logaritmi, radici e termini fratti

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Equazione con logaritmi, radici e termini fratti #49561

avt
matteo
Sfera
Non sono in grado di risolvere un'equazione logaritmica fratta con radice. Ho provato a usare molte proprietà dei logaritmi per semplificare l'espressione, senza successo. Potreste aiutarmi?

Determinare le eventuali soluzioni della seguente equazione logaritmica

\log_{3}\left(\frac{\sqrt{3x^2-3}-x}{x-1}\right)+\log_{3}(x-1)=0

Grazie.
 
 

Equazione con logaritmi, radici e termini fratti #49562

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione fratta

\log_{3}\left(\frac{\sqrt{3x^2-3}-x}{x-1}\right)+\log_{3}(x-1)=0

Prima di effettuare qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le condizioni di esistenza per i logaritmi, richiedendo che i loro argomenti siano maggiori di zero, ossia

\frac{\sqrt{3x^2-3}-x}{x-1}>0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x-1>0

Poiché devono valere contemporaneamente, le due relazioni costituiscono il seguente sistema di disequazioni

\begin{cases}\dfrac{\sqrt{3x^2-3}-x}{x-1}>0 \\ \\ x-1>0\end{cases}

Osservazione. Bisognerebbe imporre le condizioni di esistenza per le radici con indice pari e infatti verranno imposte nel momento in cui risolveremo la prima disequazione.

Analizziamo la disequazione fratta

\frac{\sqrt{3x^2-3}-x}{x-1}>0

studiando il segno del numeratore e del denominatore separatamente.

N>0\ : \ \sqrt{3x^2-3}-x>0

Risolviamo la disequazione irrazionale isolando al primo membro la radice

\sqrt{3x^2-3}>x

dopodiché consideriamo i sistemi risolventi

\begin{cases}3x^2-3\ge 0 &\mbox{C.E. radice} \\ \\  x\ge 0\\ \\ 3x^2-3>x^2\end{cases} \ \ \bigcup \ \ \begin{cases}3x^2-3\ge 0\ &\mbox{C.E. radice}\\ \\ x<0\end{cases}

Analizziamoli singolarmente, partendo dal primo sistema:

3x^2-3\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 3x^2\ge 3 \ \ \ \to \ \ \ x^2\ge 1

da cui

x\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge 1

La seconda disequazione è già risolta. Occupiamoci della terza disequazione

3x^2-3>x^2 \ \ \ \to \ \ \ 2x^2>3 \ \ \ \to \ \ \ x^2>\frac{3}{2}

da cui

x<-\sqrt{\frac{3}{2}} \ \ \ \vee \ \ \ x>\sqrt{\frac{3}{2}}

Intersecando le condizioni ottenute, ricaviamo la soluzione del primo sistema

S_1 \ : \ x>\sqrt{\frac{3}{2}}

Studiamo il secondo sistema

\begin{cases}3x^2-3\ge 0\ &\mbox{C.E. radice}\\ \\ x<0\end{cases}

di cui abbiamo già risolto la prima disequazione

3x^2-3\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\le -1 \ \ \vee \ \ x\ge 1

La seconda disequazione è già risolta, di conseguenza l'insieme soluzione del secondo sistema è

S_{2} \ : \ x<0

Unendo le soluzioni dei due sistemi, scopriamo che

N>0\ : \ \sqrt{3x^2-3}-x>0

se e solo se

x\le - 1 \ \ \ \vee \ \ \ x>\sqrt{\frac{3}{2}}

Il denominatore x-1 è positivo se e solo se x>1, infatti:

D>0 \ : \ x-1>0 \ \ \ \to \ \ \ x>1

\frac{\sqrt{3x^2-3}-x}{x-1}>0

è soddisfatta per x>\sqrt{\frac{3}{2}}.

Facciamo il punto della situazione: stiamo risolvendo il sistema

\begin{cases}\dfrac{\sqrt{3x^2-3}-x}{x-1}>0 \\ \\ x-1>0\end{cases}

che è equivalente al sistema

\begin{cases}x>\sqrt{\dfrac{3}{2}} \\ \\ x>1\end{cases}

da cui x>\sqrt{\frac{3}{2}} pertanto possiamo affermare che l'equazione è ben posta se e solo se

C.E.: \ x>\sqrt{\dfrac{3}{2}}

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci dell'equazione logaritmica iniziale

\log_{3}\left(\frac{\sqrt{3x^2-3}-x}{x-1}\right)+\log_{3}(x-1)=0

Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi, in particolare quella relativa alla somma di due logaritmi aventi la stessa base, grazie alla quale l'equazione diventa:

\log_{3}\left[\frac{\sqrt{3x^2-3}-x}{x-1}\cdot(x-1)\right]=0

Semplifichiamo x-1

\log_{3}\left[\sqrt{3x^2-3}-x\right]=0

e infine sbarazziamoci del logaritmo applicando l'esponenziale in base 3 ai due membri

\sqrt{3x^2-3}-x=1

Calcoliamo le soluzioni dell'equazione irrazionale ottenuta

\sqrt{3x^2-3}=x+1

e impostiamo il sistema risolvente, formato dalla condizione di esistenza della radice, dalla condizione di concordanza e dall'equazione ottenuta elevando i due membri al quadrato

\begin{cases}3x^2-3\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\le -1 \ \ \vee \ \ x\ge 1 \\ \\ x+1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -1 \\ \\ 3x^2-3=(x+1)^2\end{cases}

Risolviamo l'ultima equazione

3x^2-3=(x+1)^2

Sviluppiamo il quadrato di binomio e scriviamo la relazione in forma normale

3x^2-3=x^2+2x+1 \ \ \ \to \ \ \ 2x^2-2x-4=0

Dividiamo per 2

x^2-x-2=0

e usiamo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2}= \\ \\ \\ = \frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}=\begin{cases}-\frac{2}{2}=-1=x_1\\ \\ \frac{4}{2}=2=x_2\end{cases}

Si noi che entrambi rispettano sia la condizione di esistenza della radice, sia la condizione di concordanza: entrambi sono soluzioni dell'equazione irrazionale. Attenzione! Entrambi si candidano come soluzioni dell'equazione di partenza, però solo il valore che rispetta la condizione

C.E.: \ x>\sqrt{\frac{3}{2}}

è soluzione (x=2), l'altra è da scartare (x=-1). In definitiva, possiamo concludere che l'equazione

\log_{3}\left(\frac{\sqrt{3x^2-3}-x}{x-1}\right)+\log_{3}(x-1)=0

ammette come unica soluzione x=2.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Ifrit, matteo, Galois
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Os