Scomporre un polinomio di 4 termini con binomio e potenze

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Scomporre un polinomio di 4 termini con binomio e potenze #4947

avt
Volpi
Frattale
Avrei bisogno di una mano per scomporre un polinomio con il metodo del raccoglimento parziale. Ho tentato più e più volte di svolgere l'esercizio e ogni volta ottengo un risultato diverso da quello proposto. Potreste aiutarmi?

Fattorizzare il polinomio

2x(x-y)^2-4xy+4y^2

con il metodo del raccoglimento parziale.

Grazie mille.
 
 

Scomporre un polinomio di 4 termini con binomio e potenze #5017

avt
Omega
Amministratore
Per scomporre il polinomio

2x(x-y)^2-4xy+4y^2

con il metodo del raccoglimento parziale occorre innanzitutto esaminare i termini che lo compongono, vale a dire:

2x(x-y)^{2}\ \ \ , \ \ \ -4xy \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 4y^2

Il primo è il prodotto di un monomio per un polinomio, mentre sia il secondo che il terzo sono semplicissimi monomi, il cui fattore comune è -4y.

Procediamo con il raccoglimento parziale cosicché il polinomio

2x(x-y)^2-4xy+4y^2=

si possa esprimere nella seguente forma:

=2x(x-y)^{2}-4y(x-y)=

La scelta di considerare -4y con il segno - non è casuale, anzi diventa fondamentale per la risoluzione dell'esercizio perché consente di mettere in evidenza x-y, fattore comune dei termini 2x(x-y)^{2}\ \mbox{e} \ -4y(x-y).

Attenendoci al metodo del raccoglimento totale, siamo in grado di esprimere il polinomio come prodotto tra x-y e un altro polinomio i cui termini si ottengono dividendo per x-y sia 2x(x-y)^2, \ \mbox{sia} \ -4y(x-y).

Chiaramente non conviene effettuare la divisione, tutt'altro! Basta attenersi meticolosamente alle proprietà delle potenze, e in particolare alla regola sul quoziente di due potenze con la stessa base e scrivere la seguente espressione:

\\ =(x-y)[2x(x-y)^{2-1}-4y(x-y)^{1-1}]=\\ \\=(x-y)[2x(x-y)^{1}-4y(x-y)^{0}]=

Ricordando che una potenza a esponente nullo è uguale a zero, il polinomio diventa

\\ =(x-y)[2x(x-y)-4y]=\\ \\ =(x-y)[2x^2-2xy-4y]

Raccogliamo, infine, 2 dal polinomio interno alle parentesi quadre e mettiamo un punto all'esercizio.

=2(x-y)[x^2-xy-2y]

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, Volpi
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Os