Esercizio su minimo comune multiplo e massimo comun divisore di monomi

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Esercizio su minimo comune multiplo e massimo comun divisore di monomi #49314

avt
Makkoma
Punto
Non so calcolare il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore di due monomi a coefficienti interi. Mi sono attenuto alle regole che l'insegnante ha dato in classe, però i miei risultati non coincidono con quelli proposti. Mi aiutate per favore?

Calcolare il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore dei monomi

3^2\cdot 12 x\cdot x^2\cdot y\cdot y^3\cdot z^5 \ \ \ ; \ \ \ -2^3\cdot 3\cdot x^3\cdot y^2\cdot z^3

Grazie.
 
 

Esercizio su minimo comune multiplo e massimo comun divisore di monomi #49316

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare minimo comune multiplo e massimo comune divisore dei monomi

3^2\cdot 12 x\cdot x^2\cdot y\cdot y^3\cdot z^5 \ \ \ ; \ \ \ -2^2\cdot 3\cdot x^3\cdot y^2\cdot z^3

ma prima di svolgere qualsiasi calcolo in tal senso, è necessario effettuare una considerazione fondamentale: i due monomi non sono ridotti in forma normale (per approfondire - monomi ridotti in forma normale), infatti non sono espressi come prodotti di un solo fattore numerico e di potenze letterali in basi diverse.

Per poter esprimerli in forma normale, è sufficiente moltiplicare tra loro i numeri che compongono le parti numeriche e applicare le dovute proprietà delle potenze per semplificare la parte letterale. Occupiamoci del primo:

\\ 3^2\cdot 12 x\cdot x^2\cdot y\cdot y^3\cdot z^5= 108x^{1+2}\cdot y^{1+3}\cdot z^5=\\ \\ =108x^3 y^4z^5

Per quanto concerne il secondo monomio, ricaviamo invece:

 \\ -2^3\cdot 3\cdot x^3\cdot y^2\cdot z^3=-8\cdot 3x^3 y^2z^3=\\ \\ =-24 x^3y^2z^3

L'esercizio si riduce quindi al calcolo del minimo comune multiplo e massimo comune divisore dei seguenti monomi

108x^3 y^4 z^5 \ \ \ , \ \ \ -24x^3 y^2z^3

In questo caso, il minimo comune multiplo tra monomi è quel monomio avente per coefficiente il minimo comune multiplo tra i coefficienti 108 e 24 (il segno meno non serve). La sua parte letterale si forma considerando il prodotto delle lettere comuni e non comuni presi una sola volta con il più grande esponente.

Procediamo con la scomposizione in fattori primi dei coefficienti

\begin{array}{r|c}108&2\\ 54&2\\ 27&3\\ 9&3\\ 3&3\\ 1&\end{array}\ \ \ , \ \ \ \begin{array}{r|c}24&2\\ 12&2\\ 6&2\\ 3&3\\ 1&\end{array}

da cui ricaviamo che:

108=2^2\cdot 3^3 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 24=2^3\cdot 3

Il loro minimo comune multiplo coincide con il prodotto dei fattori comuni e non comuni alle scomposizioni, presi una sola volta con il più grande esponente

mcm(108, \ 24)=2^3\cdot 3^3= 8\cdot 27=216

e rappresenta il coefficiente del minimo comune multiplo tra i monomi. Non ci resta che trovare la parte letterale, che si ottiene considerando le lettere comuni e non comuni con il massimo esponente. Nel nostro caso:

- la lettera x compare con esponente 3;

- la lettera y compare con gli esponenti 4 e 2, il massimo è 4;

- la lettera z compare con gli esponenti 5 e 3, il massimo è 5;

pertanto la parte letterale richiesta è x^3 y^4z^5. Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di calcolare il minimo comune multiplo tra i monomi dati è

mcm(108x^3 y^4z^5, \ -24x^3y^2z^3)=216x^3y^4z^4

Dedichiamoci al calcolo del massimo comune divisore tra i monomi, il quale non è altro che un monomio avente per parte numerica il massimo comune divisore delle parti numeriche e per parte letterale il prodotto delle lettere comuni prese una sola volta con il più piccolo esponente.

Grazie alla scomposizione in fattori primi dei numeri 108 e 24, otteniamo immediatamente che il loro MCD è:

MCD(108, \ 24)=2^2\cdot 3=12

Tale valore rappresenta il coefficiente del massimo comune divisore tra i monomi dati. La parte letterale si ricava invece considerando il prodotto delle lettere comuni, prese una sola volta con il piccolo esponente, vale a dire x^3y^2z^3.

In definitiva, il massimo comune divisore tra i monomi dati è:

MCD(108x^3 y^4z^5, \ -24x^3y^2z^3)=12 x^3 y^2z^3

Abbiamo finito.
Ringraziano: Makkoma
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Os