Discussione delle soluzioni di un'equazione parametrica di secondo grado

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Discussione delle soluzioni di un'equazione parametrica di secondo grado #4928

avt
Juanito
Cerchio
Mi è capitato un problema con le equazioni parametriche di secondo grado in cui mi vengono fatte diverse richieste a cui sinceramente non so rispondere. Spero che possiate aiutarmi.

Nell'equazione letterale di secondo grado

x^2+3kx-8=0

determinare il valore del parametro k di modo che:

I. a) le radici siano reali;

I. b) una radice sia 2;

I. c) le radici siano opposte;

I. d) la somma delle radici sia 27.

Grazie mille.
 
 

Discussione delle soluzioni di un'equazione parametrica di secondo grado #4929

avt
frank094
Maestro
Il problema è composto da più punti che risolveremo singolarmente: è essenziale conoscere a menadito la teoria delle equazioni letterali di secondo grado e le relazioni che esistono tra le soluzioni e i coefficienti dell'equazione stessa.

L'equazione cui fare riferimento è

x^2+3kx-8=0

i cui coefficienti sono

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b= 3k \ \ \ ; \ \ \ c=-8

Nel quesito a) ci viene chiesto di determinare i valori del parametro k di modo che le due soluzioni siano reali: in altre parole dobbiamo imporre la condizione di realtà delle soluzioni, richiedendo che il discriminante associato sia maggiore o al più uguale a zero.

\Delta\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ b^2-4ac\ge 0

Ricaviamo così la disequazione di secondo grado nell'incognita k

(3k)^2-4\cdot 1\cdot (-8)\ge 0

che grazie alle proprietà delle potenze diventa

9k^2+32\ge 0

Al primo membro della disequazione c'è una somma di quantità positive e in quanto tale sarà positiva a prescindere dal valore assunto da k. In definitiva, l'equazione ammette due soluzioni reali per ogni k.

Occupiamoci del punto b) che ci chiede di determinare gli eventuali valori di k di modo che x=2 sia una soluzione dell'equazione. Nulla di complicato, è infatti sufficiente sostituire 2 a ogni occorrenza di x così da ottenere un'equazione di primo grado in cui l'incognita è il parametro richiesto

2^2+3k\cdot 2-8=0 \ \ \ \to \ \ \ 4+6k-8=0

da cui

6k-4=0

Calcoliamo la soluzione isolando k al primo membro

6k=4 \ \ \ \to \ \ \ k=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

Per tale valore l'equazione parametrica diventa

x^2+3\cdot\frac{2}{3}\cdot x-8=0

ossia

x^2+2x-8=0

le cui soluzioni sono x_1=-4\ \mbox{e}\ x_2=2.

Dedichiamoci al punto c). Dobbiamo determinare il valore del parametro per il quale l'equazione ha soluzioni opposte.

Indicando le radici dell'equazione con x_1\ \mbox{e} \ x_2, poiché devono essere opposte deve sussistere la relazione

x_1=-x_2

che equivale a richiedere che la somma delle radici sia pari a zero

x_1+x_2=0

In accordo con la teoria, sappiamo che la somma delle due soluzioni di un'equazione di secondo grado ridotta in forma normale coincide con l'opposto del rapporto tra il coefficiente di x e quello di x^2, vale a dire:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

Rimpiazziamo i valori così da ottenere l'equazione nell'incognita k che consente di risolvere il problema

0=-\frac{k}{1} \ \ \ \to \ \ \ k=0

Concludiamo che il valore da attribuire al parametro affinché l'equazione ammetta due radici opposte è k=0.

Nel punto d) del problema ci viene chiesto di determinare il valore di k per il quale la somma delle radici sia pari a 27 e per risolverlo, è sufficiente riciclare il ragionamento seguito nel punto c)

x_1+x_2=-\frac{b}{a} \ \ \ \to \ \ \ 27=-3k

Risolviamo l'equazione nell'incognita k e abbiamo terminato

3k=-27 \ \ \ \to \ \ \ k=-9

Per k=-9, l'equazione diventa

\\ x^2+3\cdot(-9)\cdot x-8=0 \\ \\ x^2-27x-8=0

Usando la formula del discriminante scompriamo che le due radici sono:

x_1=\frac{27-\sqrt{761}}{2} \ \ \ ; \ \ \ x_2=\frac{27+\sqrt{761}}{2}

da cui si evince che la loro somma è pari a 27, infatti

x_1+x_2=\frac{27-\sqrt{761}+27+\sqrt{761}}{2}=\frac{54}{2}=27

come volevamo.

Scriviamo per bene le conclusioni:

a) le radici sono reali per qualsiasi valore di k;

b) una radice è 2 se e solo se k=\frac{2}{3};

c) le radici sono opposte se e solo se k=0;

d) la somma delle radici è 27 se e solo se k=-9.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Juanito
  • Pagina:
  • 1
Os