Esercizio MCD e mcm di 3 monomi

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Esercizio MCD e mcm di 3 monomi #49231

avt
sandruccia
Sfera
Mi è capitato un esercizio che mi chiede di determinare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di tre monomi. Io so farlo quando ho solo due monomi, però con tre? Come si fa?

Calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo del seguente gruppo di monomi

2^{4}a^3b^5c^2 \ \ \ , \ \ \ 144 a^5 b^3 c^3 \ \ \ , \ \ \ 12 a^3 b^2 c^4

Grazie mille!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
 
 

Esercizio MCD e mcm di 3 monomi #49234

avt
Pi Greco
Kraken
Per poter ricavare mcm e MCD dei monomi

2^{4}a^3b^5c^2 \ \ \ , \ \ \ 144 a^5 b^3 c^3 \ \ \ , \ \ \ 12 a^3 b^2 c^4

bisogna semplicemente attenersi alla teoria. Ricordiamo che:

- il massimo comune divisore di due o più monomi a coefficienti interi è quel monomio che ha per parte numerica il massimo comune divisore delle parti numeriche e per parte letterale il prodotto delle lettere comuni a tutti i monomi prese con il più piccolo esponente;

- il minimo comune multiplo di due o più monomi a coefficienti interi è quel monomio che ha per parte numerica il minimo comune multiplo delle parti numeriche e per parte letterale il prodotto delle lettere comuni e non comuni prese con il più grande esponente.

Da queste regole segue che abbiamo bisogno del MCD e del mcm dei numeri 2^4, \ 144\ \mbox{e} \ 12: per farlo abbiamo bisogno delle rispettive scomposizioni in fattori primi. Chiaramente 2^4 è già fattorizzato in fattori primi; occupiamoci di 144 e di 12

\begin{array}{r|c}144&2\\ 72&2 \\ 36&2\\ 18&2\\ 9&3\\ 3&3\\ 1&\end{array}\ \ \ , \ \ \ \begin{array}{r|c}12&2\\ 6&2\\ 3&3\\ 1&\end{array}

Le scomposizioni in fattori primi di 144 e 12 sono rispettivamente

144=2^{4}\cdot 3^{2}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ 12=2^2\cdot 3

Il MCD e il mcm tra 2^{4}, \ 144 \ \mbox{e} \ 12 valgono rispettivamente

MCD(2^{4}, \ 144 , \ 12)=2^{2}= 4 \ \ \ , \ \ \ mcm(2^{4},\ 144, \ 12)=2^{4}\cdot 3^2=144

Prima di occuparci delle parti letterali, esplicitiamo gli esponenti con cui le lettere compaiono nei monomi

- gli esponenti delle lettera a sono 3, 5 e 3;

- gli esponenti della lettera b sono 5, 3 e 2;

- gli esponenti della lettera c sono 2, 3 e 4.

Sfruttando le regole che abbiamo espresso in precedenza, possiamo concludere che il minimo comune multiplo dei monomi dati è

mcm(2^{4}a^3b^5c^2, \ 144 a^5 b^3 c^3 , \ 12 a^3 b^2 c^4)=144 a^5b^5c^4

mentre il massimo comune divisore risulta

MCD(2^{4}a^3b^5c^2, \ 144 a^5 b^3 c^3 , \ 12 a^3 b^2 c^4)=4a^3b^2c^2

Abbiamo finito.
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