Equazione letterale di grado 1 fratta con un parametro

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Equazione letterale di grado 1 fratta con un parametro #49181

avt
nexts
Punto
Stavo esercitandomi sulle equazioni parametriche di primo grado fratte con un parametro e a un certo punto mi sono ritrovato un'equazione che non sono in grado di risolvere. Potreste aiutarmi?

Data l'equazione parametrica fratta di primo grado

\frac{x}{x+a}-\frac{a}{x-a}-\frac{x^2}{(x^2-a^2)}=0

Discutere l'esistenza delle eventuali soluzioni al variare del parametro reale a e, nel caso sia possibile, esplicitare l'insieme delle soluzioni.

Grazie.
 
 

Equazione letterale di grado 1 fratta con un parametro #49182

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo

\frac{x}{x+a}-\frac{a}{x-a}-\frac{x^2}{(x^2-a^2)}=0

Il nostro compito consiste nello studiare l'equazione parametrica fratta e nell'esplicitare l'insieme delle soluzioni nel caso la situazione lo consente.

Per prima cosa tentiamo di scomporre i denominatori, prestando particolare attenzione alla differenza di quadrati x^2-a^2:

\frac{x}{x+a}-\frac{a}{x-a}-\frac{x^2}{(x-a)(x+a)}=0

Impostiamo a questo punto le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori presenti siano non nulli.

\\ x+a\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -a \\ \\ x-a\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne a \\ \\ (x-a)(x+a)\ne 0

L'ultima condizione può essere analizzata avvalendosi della legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se entrambi i fattori che lo compongono sono non nulli.

(x-a)(x+a)\ne 0 \ \to \ x-a\ne 0 \ \wedge \ x+a\ne 0

dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".

Risolvendo le due relazioni, ricaviamo:

x\ne a \ \wedge \ x\ne -a

In definitiva, le condizioni di esistenza sono:

C.E.: x\ne a \ \wedge \ x\ne -a

Torniamo all'equazione e scriviamola in forma normale, esprimendo le frazioni a denominatore comune

\frac{x(x-a)-a(x+a)-x^2}{(x-a)(x+a)}=0

Sotto i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, possiamo cancellare il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente

x(x-a)-a(x+a)-x^2=0

Sviluppiamo i calcoli

\\ x^2-ax-ax-a^2-x^2=0 \\ \\ -2ax-a^2=0

Trasportiamo i termini senza l'incognita al secondo membro

-2ax=a^2 \ \ \to \ \ 2ax=-a^2

Ora possiamo iniziare la discussione che dipende dalla nullità o meno del coefficiente di x.

Se 2a=0, ossia se a=0, l'equazione si riduce a:

2\cdot 0\cdot x=-0^2 \ \ \to \ \ 0=0

Ricaviamo così un'identità condizionata da x\ne 0: tale condizione scaturisce da x\ne -a \ \wedge \ x\ne a con a=0.

Se 2a\ne 0, vale a dire se a\ne 0, siamo autorizzati a dividere per 2a i due membri, ricavando così

x=-\frac{a^2}{2a} \ \ \to \ \ x=-\frac{a}{2}

Attenzione! Dalle condizioni di esistenza, sappiamo che x dev'essere diverso sia da a, (x\ne a) che da -a, (x\ne -a), ecco perché dobbiamo imporre due ulteriori vincoli:

il primo è

x\ne a \ \ \to \ \ -\frac{a}{2}\ne a

da cui

-\frac{a}{2}-a\ne 0 \ \ \to \ \ -\frac{3}{2}a\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne 0

Il secondo vincolo è invece

x\ne -a \ \ \to \ \ -\frac{a}{2}\ne -a

da cui

-\frac{a}{2}+a\ne 0 \ \ \to \ \ \frac{a}{2}\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne 0

Entrambe le relazioni sono coerenti con il vincolo a\ne 0. Ora possiamo trarre le conclusioni.

Se a=0, l'equazione è un'identità e l'insieme soluzione è \forall \ x\ne 0.

Se a\ne 0, l'equazione è invece determinata e ammette come soluzione x=-\frac{a}{2}.

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, nexts, odiolamatematica
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Os