Esercizio MCD e mcm di monomi con coefficienti fratti

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Esercizio MCD e mcm di monomi con coefficienti fratti #48920

avt
Fylax
Frattale
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un semplice esercizio sul calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore di due monomi che però hanno coefficienti fratti. La mia insegnante non ha mai fatto un esempio in classe e non so come procedere.

Determinare il mcm e il MCD dei seguenti monomi a coefficienti fratti

\frac{1}{2}x^2y^3 z^2 \ \ \ , \ \ \ \frac{3}{4}x\cdot\frac{1}{3}x^2 y^3\cdot y

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, matteo
 
 

Esercizio MCD e mcm di monomi con coefficienti fratti #49022

avt
Omega
Amministratore
Proponiamoci come obiettivo quello di calcolare mcm e MCD dei seguenti monomi

\frac{1}{2}x^2y^3 z^2 \ \ \ , \ \ \ \frac{3}{4}x\cdot\frac{1}{3}x^2 y^3\cdot y

Sebbene il primo monomio sia espresso in forma normale, il secondo non lo è, conseguentemente il primo passo consiste proprio in questo: dobbiamo ridurre il seguente monomio in forma normale

\frac{3}{4}x\cdot\frac{1}{2}x^2 y^3\cdot y

ossia faremo in modo che esso abbia esclusivamente una parte numerica e una parte letterale in cui le lettere non si ripetono. Il coefficiente numerico si ricava semplicemente moltiplicando tra loro i numeri che vi compaiono; per quanto concerne la parte letterale sarà sufficiente sfruttare a dovere la proprietà delle potenze relativa al prodotto.

\\ \frac{3}{4}x\cdot\frac{1}{3}x^2 y^3\cdot y=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}x^{1+2}y^{3+1}= \\ \\ \\ =\frac{1}{4}x^{3}y^{4}

Ora che entrambi i monomi sono espressi in forma normale, possiamo determinare il loro massimo comune divisore e minimo comune multiplo. È di fondamentale importanza sottolineare che i coefficienti dei monomi sono fratti e in tali evenienze, il coefficiente di mcm e quello di MCD sono entrambi pari a 1 (è una definizione).

Dedichiamoci alla parte letterale del mcm: bisogna moltiplicare tra loro le lettere comuni e non comuni, ciascuna presa con il massimo esponente con cui compare. In questo caso:

- la lettera x compare con gli esponenti 2 e 3;

- la lettera y compare con gli esponenti 3 e 4;

- la lettera z si presenta esclusivamente nel primo monomio ed ha esponente 2.

Le informazioni in nostro possesso sono sufficienti per scrivere che il minimo comune multiplo tra i monomi dati è

mcm\left(\frac{1}{2}x^2y^3z^2, \ \frac{1}{4}x^3y^4\right)=x^3 y^4z^2

Per quanto riguarda la parte letterale del MCD, basta moltiplicare tra loro le lettere comuni, ciascuna presa con il più piccolo esponente, ossia

MCD\left(\frac{1}{2}x^2y^3z^2, \ \frac{1}{4}x^3y^4\right)=x^2 y^3

Abbiamo terminato.
Ringraziano: xavier310
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Os