Minimo comune multiplo e massimo comun divisore di tre monomi

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#48715
avt
DottorBoss
Cerchio
Dovrei calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra tre monomi a coefficienti frazionari e non ridotti in forma normale. So già che dovrò usare qualche proprietà delle potenze perché me lo ha suggerito la professoressa, ma quali?

Dopo aver ricondotto alle rispettive forme normali i seguenti monomi, determinare il loro massimo comun divisore e il minimo comune multiplo

(1)/(2)x^2 y^2·4 yz^3 , x^3·x y^3·t , x^2y·y^2t^2·t

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
#49063
avt
matteo
Sfera
L'esercizio consta effettivamente di due punti: prima di tutto dobbiamo ridurre in forma normale le seguenti espressioni

(1)/(2)x^2 y^2·4 yz^3 , x^3·x y^3·t , x^2y·y^2t^2·t

dopodiché ci impegneremo a calcolare mcm e MCD dei monomi dati.

Per rendere i monomi in forma normale dovremo fare in modo che presentino una sola parte numerica e una sola parte letterale in cui nessuna lettera si ripete.

Partiamo dal primo

(1)/(2)x^2 y^2·4 yz^3 =

esso è chiaramente un prodotto di monomi che grazie alle proprietà delle potenze si scrive nella forma

= (1)/(2)·4x^2 y^(2+1)z^3 = 2x^2y^3z^3

Procediamo allo stesso modo per il secondo prodotto

x^3·x y^3·t = x^(3+1)y^3 t = x^4y^3 t

e per il terzo

x^2y·y^2t^2·t = x^2y^(1+2)t^(2+1) = x^2 y^3t^3

Una volta ottenute le forme normali dei monomi, possiamo finalmente calcolare sia il MCD che il mcm.

Ricordiamo che il minimo comune multiplo tra due o più monomi a coefficienti interi è a sua volta un monomio con una precisa parte numerica e letterale.

La parte numerica si ricava semplicemente calcolando il minimo comune multiplo tra i coefficienti dei tre monomi

mcm(2,1,1) = 2

La parte letterale del minimo comune multiplo si ottiene moltiplicando tra loro le lettere comuni e non, ciascuna presa con il massimo esponente, pertanto scriviamo che:

mcm(2x^2y^3z^3, x^4y^3 t, x^2 y^3t^3) = 2x^4y^3z^3 t^3

Il massimo comune divisore tra due o più monomi a coefficienti interi è un monomio avente per parte numerica il massimo comune divisore delle parti numeriche, e per parte letterale il prodotto delle lettere comuni, prese con il più piccolo esponente. Poiché il massimo comun divisore tra 2, 1 e 1 è pari a 1, ricaviamo che:

MCD(2x^2y^3z^3, x^4y^3 t, x^2 y^3t^3) = x^2y^3

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco
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