Minimo comune multiplo e massimo comun divisore di tre monomi

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Minimo comune multiplo e massimo comun divisore di tre monomi #48715

avt
DottorBoss
Cerchio
Dovrei calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra tre monomi a coefficienti frazionari e non ridotti in forma normale. So già che dovrò usare qualche proprietà delle potenze perché me lo ha suggerito la professoressa, ma quali?

Dopo aver ricondotto alle rispettive forme normali i seguenti monomi, determinare il loro massimo comun divisore e il minimo comune multiplo

\frac{1}{2}x^2 y^2\cdot 4 yz^3\ \ \ , \ \ \ x^3\cdot x y^3\cdot t \ \ \ , \ \ \  x^2y\cdot y^2t^2\cdot t

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
 
 

Minimo comune multiplo e massimo comun divisore di tre monomi #49063

avt
matteo
Sfera
L'esercizio consta effettivamente di due punti: prima di tutto dobbiamo ridurre in forma normale le seguenti espressioni

\frac{1}{2}x^2 y^2\cdot 4 yz^3\ \ \ , \ \ \ x^3\cdot x y^3\cdot t \ \ \ , \ \ \  x^2y\cdot y^2t^2\cdot t

dopodiché ci impegneremo a calcolare mcm e MCD dei monomi dati.

Per rendere i monomi in forma normale dovremo fare in modo che presentino una sola parte numerica e una sola parte letterale in cui nessuna lettera si ripete.

Partiamo dal primo

\frac{1}{2}x^2 y^2\cdot 4 yz^3=

esso è chiaramente un prodotto di monomi che grazie alle proprietà delle potenze si scrive nella forma

=\frac{1}{2}\cdot 4x^2 y^{2+1}z^3=2x^2y^3z^3

Procediamo allo stesso modo per il secondo prodotto

\\ x^3\cdot x y^3\cdot t=x^{3+1}y^3 t= \\ \\ =x^4y^3 t

e per il terzo

\\ x^2y\cdot y^2t^2\cdot t=x^2y^{1+2}t^{2+1}= \\ \\ =x^2 y^3t^3

Una volta ottenute le forme normali dei monomi, possiamo finalmente calcolare sia il MCD che il mcm.

Ricordiamo che il minimo comune multiplo tra due o più monomi a coefficienti interi è a sua volta un monomio con una precisa parte numerica e letterale.

La parte numerica si ricava semplicemente calcolando il minimo comune multiplo tra i coefficienti dei tre monomi

mcm(2,1,1)=2

La parte letterale del minimo comune multiplo si ottiene moltiplicando tra loro le lettere comuni e non, ciascuna presa con il massimo esponente, pertanto scriviamo che:

mcm(2x^2y^3z^3, \ x^4y^3 t, \ x^2 y^3t^3)=2x^4y^3z^3 t^3

Il massimo comune divisore tra due o più monomi a coefficienti interi è un monomio avente per parte numerica il massimo comune divisore delle parti numeriche, e per parte letterale il prodotto delle lettere comuni, prese con il più piccolo esponente. Poiché il massimo comun divisore tra 2, 1 e 1 è pari a 1, ricaviamo che:

MCD(2x^2y^3z^3, \ x^4y^3 t, \ x^2 y^3t^3)=x^2y^3

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco
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Os