Esercizio su MCD e mcm di monomi non in forma normale

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Esercizio su MCD e mcm di monomi non in forma normale #48656

avt
federicoverona
Sfera
Mi è capitato un esercizio che mi chiede di calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di tre monomi a coefficienti fratti e non ancora espressi in forma normale. Sinceramente non ho idea di come si fa, per questo chiedo il vostro intervento.

Determinare il MCD e il mcm del seguente gruppo di monomi

\frac{1}{2}x y^2+ \frac{1}{2}x\cdot y\cdot y \ \ , \ \ 3xy\cdot y-2^3xy^2 \ \  , \ \ 2x^2y^3z

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, DottorBoss, Manuel1990
 
 

Esercizio su MCD e mcm di monomi non in forma normale #48675

avt
Pi Greco
Kraken
In generale, prima di calcolare MCD e mcm di due o più monomi bisogna assicurarsi che questi siano ridotti in forma normale (si veda monomi ridotti in forma normale).

Purtroppo nessuno dei monomi dati sono nella forma richiesta, dunque il primo passaggio prevede di semplificare ciascun monomio.

Per ridurre in forma normale il primo monomio, basta usare le proprietà delle potenze che ci autorizzano a scrivere l'uguaglianza

\\ \frac{1}{2}x y^2+\frac{1}{2}x\cdot y\cdot y= \\ \\ \\  = \frac{1}{2}xy^2+\frac{1}{2}xy^{1+1}=\frac{1}{2}x y^2 +\frac{1}{2}x y^{2}=

A questo punto sommiamo tra loro i monomi simili: basta addizionare tra loro i rispettivi coefficienti e lasciare invariata la parte letterale

=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)x y^2= x y^2

Il primo monomio è espresso in forma normale. Avvaliamoci delle onnipresenti proprietà delle potenze anche per il secondo monomio

\\ 3x y\cdot y-2^{3}x y^2=3x y^{1+1}-2^{3}x y^2= \\ \\ =3x y^{2}-8 x y^2=-5x y^2

L'ultimo monomio, 2x^2 y^3z, è già espresso in forma normale, dunque non vi sono ulteriori passaggi preparatori.

L'esercizio diventa quindi quello di determinare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei seguenti monomi

x y^2 \ \ \ ,\ \ \ -5 x y^2 \ \ \ , \ \ \ 2 x^2 y^3 z

Teniamo a mente che:

- il massimo comune divisore tra due o più monomi a coefficienti interi è a sua volta un monomio che ha per coefficiente il [urlhttps://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/lezioni-di-algebra-e-aritmetica-per-scuole-medie/512-massimo-comune-divisore-mcd.html]massimo comune divisore[/url] dei coefficienti mentre la sua parte letterale si ottiene moltiplicando tra loro le lettere comuni, ciascuna elevata all'esponente massimo con cui compare;

- il minimo comune multiplo tra due o più monomi a coefficienti interi è un monomio che ha per parte numerica il minimo comune multiplo dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle lettere comuni ai monomi dati, ciascuna presa con il più piccolo esponente.

Per prima cosa determiniamo il MCD e il mcm di1, \ -5\ \mbox{e} \ 2, sottolineando che il segno meno può essere bellamente trascurato (non serve ai nostri scopi):

MCD(1,-5,2)=1 \ \ \ , \ \ \ mcm(1,-5,2)=10

Associamo a ciascuna lettera i valori degli esponenti con cui si manifesta nei tre monomi:

- la lettera x ha esponenti 1, 1 e 2;

- la lettera y ha esponenti 2, 2, 3;

- la lettera z è presente esclusivamente nell'ultimo monomio e ha esponente 1.

Finalmente disponiamo di tutte le informazioni per concludere il problema: il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei monomi

x y^2 \ \ \ ,\ \ \ -5 x y^2 \ \ \ , \ \ \ 2 x^2 y^3 z

valgono rispettivamente

\\ MCD(x y^2 ,\ -5 x y^2, \ 2 x^2 y^3 z)=xy^2 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ mcm(x y^2 ,\ -5 x y^2, \ 2 x^2 y^3 z)=10x^2y^3z

Il problema è risolto.
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Os