Esercizio equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno

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Esercizio equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno #48648

avt
FAQ
Punto
Ho da poco iniziato le equazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno e già riscontro delle grosse difficoltà negli esercizi, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica di secondo grado

3\sin(x)\cos(x)-\sqrt{3}\cos^2(x)=0

Grazie mille.
Ringraziano: Omega
 
 

Esercizio equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno #49068

avt
Pi Greco
Kraken
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno

3\sin(x)\cos(x)-\sqrt{3}\cos^2(x)=0

In questo caso è opportuno osservare che manca il termine \sin^2(x), dunque il modo più semplice per risolvere l'equazione prevede di raccogliere il fattore comune \cos(x)

\cos(x)(3\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x))=0

e sfruttare in seguito la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro vale zero se e solo se sono soddisfatte le seguenti equazioni

\cos(x)=0 \ \ \ \vee \ \ \ 3\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=0

La prima

\cos(x)=0

è un'equazione goniometrica elementare che conduce alle soluzioni

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{per ogni }k\in\mathbb{Z}

mentre la seconda

3\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=0

è un'equazione lineare in seno e coseno omogenea. Per determinarne le soluzioni, isoliamo il seno al primo membro

\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos(x)

e per \cos(x)\ne 0 dividiamo i due membri per tale termine

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\sqrt{3}}{3}

In virtù della definizione di tangente, la precedente relazione si tramuta nell'equazione elementare

\tan(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}

soddisfatta dalla famiglia di valori

x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Ora disponiamo di tutti gli elementi per concludere l'esercizio: l'equazione

3\sin(x)\cos(x)-\sqrt{3}\cos^2(x)=0

è soddisfatta dalle famiglie di valori

\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi  \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
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