Esercizio MCD e mcm di monomi con parametri

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Esercizio MCD e mcm di monomi con parametri #48489

avt
irene21
Cerchio
Ho bisogno di una mano per capire come svolgere un esercizio sul massimo comune divisore e minimo comune multiplo tra monomi, caratterizzati dalla presenza di un parametro naturale all'esponente. Non ho riscontrato difficoltà negli altri esercizi, però qui il parametro mi crea diversi grattacapi.

Calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo associato ai monomi

30 x^m y^{2m}z^{4m}\ \ \ \ , \ \ \ 48x^{m+1}y^{2m+4}z^{3m}

al variare del parametro m\in\mathbb{N}.

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois
 
 

Esercizio MCD e mcm di monomi con parametri #48496

avt
Omega
Amministratore
L'obiettivo dell'esercizio consiste nel determinare mcm e MCD dei monomi

30 x^m y^{2m}z^{4m}\ \ \ \ , \ \ \ 48x^{m+1}y^{2m+4}z^{3m}

dove m è un numero naturale.

Prima di occuparci del problema, ripassiamo velocemente il metodo per calcolare il mcm e il MCD di monomi.

Ricordiamo che il minimo comune multiplo tra monomi a coefficienti interi, come in questo caso, è un monomio:

- con coefficiente dato dal minimo comune multiplo delle parti numeriche dei monomi dati;

- con parte letterale ottenuta moltiplicando tra loro le lettere comuni e non comuni, ciascuna presa con il massimo esponente con cui compare.

Il massimo comun divisore tra i monomi è invece quel monomio che ha:

- per coefficiente il massimo comun divisore tra le parti numeriche;

- per parte letterale il prodotto delle lettere comuni, ciascuna presa con il più piccolo esponente.

Occupiamoci delle parti numeriche: dovremo scomporre in fattori primi 30 e 48.

\begin{array}{r|c}30&2\\ 15&3\\ 5&5\\1&\end{array}\ \ \  , \ \ \ \begin{array}{r|c}48&2\\ 24&2\\ 12&2\\ 6&2\\ 3&3\\ 1&\end{array}

da cui

30=2\cdot 3\cdot 5 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 48=2^4\cdot 3

Note le scomposizioni dei coefficienti, siamo in grado di calcolare i loro MCD e mcm:

MCD(30,\ 48)=2\cdot 3=6 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ mcm(30,\ 48)=2^{4}\cdot 3\cdot 5=240

Per quanto concerne la parte letterale di MCD e mcm, bisogna stare particolarmente attenti per via della presenza del parametro m\in\mathbb{N}. Notiamo che:

- la lettera x compare con gli esponenti m\ \mbox{e} \ m+1, il più piccolo dei quali è m, mentre il più grande è m+1;

- la lettera y compare con gli esponenti 2m\ \mbox{e} \ 2m+4, il più piccolo dei quali è 2m, mentre il più grande è 2m+4;

- la lettera z si presenta con gli esponenti 4m\ \mbox{e} \ 3m, il più piccolo dei quali è 3m, mentre il più grande è 4m.

Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di esplicitare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra i monomi dati:

MCD(30x^{m}y^{2m}z^{4m}, \ 48x^{m+1}y^{2m+4}z^{3m})=6x^{m}y^{2m}z^{3m}

mentre

mcm(30x^{m}y^{2m}z^{4m}, \ 48x^{m+1}y^{2m+4}z^{3m})=240x^{m+1}y^{2m+4}z^{4m}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, Galois
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Os