Problema con quadrato e rettangolo equivalenti e equazioni di secondo grado

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Problema con quadrato e rettangolo equivalenti e equazioni di secondo grado #48481

avt
DanyFraga
Punto
Ciao, mi potreste dare una mano a risolvere il seguente problema con equazioni di secondo grado? Riguarda un rettangolo e un quadrato equivalenti.

Un rettangolo è equivalente ad un quadrato di lato 10 cm. Determina il perimetro del rettangolo, sapendo che la metà della base sommata al doppio dell'altezza è 20 cm.

Grazie per l'aiuto.
 
 

Re: Problema con quadrato e rettangolo equivalenti e equazioni di secondo grado #48497

avt
Omega
Amministratore
Ciao DanyFraga emt

le linee guida del Forum richiedono un tentativo di risoluzione e/o un'esposizione dettagliata dei dubbi inerenti il problema.

Quali sono i tuoi dubbi, qui? Riesci a scrivere le equazioni ma non riesci a risolverle, oppure sai risolverle ma non riesci a tradurre il testo in equazioni?

Coraggio, fammi sapere. emt
Ringraziano: Pi Greco

Re: Problema con quadrato e rettangolo equivalenti e equazioni di secondo grado #48617

avt
Manuel1990
Sfera
Ciao!
Concordo con Omega che sarebbe meglio che ci dicessi dove trovi difficoltà tuttavia te lo svolgo con la speranza che la prossima volta sarai più precisa emt

Partiamo dal dire che il quadrato e il rettangolo sono equivalenti se hanno la stessa area.

Partendo da ciò iniziamo a trascrivere i dati in formule:

1) Un rettangolo è equivalente ad un quadrato di lato 10 cm.
Quindi l'area è A = l^2 = 10^2 = 100 cm^2

2) la metà della base sommata al doppio dell'altezza è 20 cm.
Quindi se b è la base e h l'altezza: \frac{1}{2}b + 2h = 20 cm

Purtroppo dal 2) abbiamo un'equazione in 2 variabili e non va bene! dobbiamo riscrivere o b o h in funzione dell'altra. Ci viene utile 1) perché? sai che: A = l^2 = 10^2 = 100 cm^2 tuttavia è vero anche che A = l^2 = 10^2 = 100 cm^2 = bh perché nel rettangolo A = bh

Quindi abbiamo che:

bh = 100 e \frac{1}{2}b + 2h = 20

Dalla prima:
bh = 100 \rightarrow b = \frac{100}{h} e quindi avremo:

\frac{100}{2h} + 2h = 20

che è un'equazione in un'incognita, risolviamola! (CE: h \not= 0)

\frac{100}{2h} + 2h = 20

\frac{50}{h} + 2h = 20

50 + 2h^2 - 20h = 0

h^2 - 10 h + 25 = 0

(h-5)^2 = 0

h = 5 cm


Tornando a bh = 100 \rightarrow 5b = 100 \rightarrow b = 20

Avremo quindi

b = 20 cm e h = 5 cm

Formula del Perimetro (P):

P = 2(b+h) = 2(20+5) = 2(25) = 50 cm

Fine emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os