Disequazione fratta in valore assoluto #4827

avt
Nello
Cerchio
Amici mi aiutereste a risolvere una disequazione fratta con valore assoluto e secondo membro costante?

\left|1+\frac{2-x}{x}\right|>2

Grazie mille!
 
 

Disequazione fratta in valore assoluto #4837

avt
Omega
Amministratore
Buongiorno a te Nello! emt

Per risolvere la disequazione in valore assoluto

\left|1+\frac{2-x}{x}\right|>2

che riscriviamo come

\left|\frac{x+2-x}{x}\right|>2

\left|\frac{2}{x}\right|>2

ed infine

\left|\frac{1}{x}\right|>1

ci basta distinguere i due casi in cui l'argomento del modulo è positivo o negativo. Avremo corrispondentemente due sistemi di disequazioni di cui dobbiamo unire le soluzioni.


Il primo è

x\geq 0

\frac{1}{x}>1

La seconda disequazione, che è una disequazione fratta, la riscriviamo come

\frac{1-x}{x}>0

e studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore

N)\ 1-x>0\mbox{ }\to\mbox{ }x<1

D)\ x>0

Confrontando il segno di numeratore e denominatore troviamo come soluzioni della disequazione: 0<x<1


Passiamo al secondo sistema

x< 0

-\frac{1}{x}>1

che diventa

\frac{-1-x}{x}>0

Anche qui: stesso discorso emt

N)\ -1-x>0\mbox{ }\to\mbox{ }x<-1

D)\ x>0

troviamo come soluzioni -1<x<0.


Abbiamo quasi finito, non ci resta che unire le soluzioni dei due sistemi di disequazioni, pre cui troviamo che le soluzioni della disequazione iniziale sono date da -1<x<0\vee 0<x<1.
Ringraziano: Pi Greco, frank094, sara9210
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