Ridurre monomi in forma normale e calcolare mcm e MCD

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Ridurre monomi in forma normale e calcolare mcm e MCD #48085

avt
Kira
Punto
Dovrei calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di due monomi che però non sono ridotti in forma normale. Il mio problema risiede essenzialmente nell'applicare le giuste proprietà delle potenze per semplificare le espressioni,però qual è la strategia giusta?

Determinare il mcm e il MCD dei seguenti monomi dopo averli ridotti alla forma normale

\\ (2x^2)^2\cdot 3(y^5)^2\cdot 4(z^2)^0 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ 2x^4 y^7z^3+2x^4y^2\cdot 2 y^5z^3

Grazie.
Ringraziano: Ifrit
 
 

Ridurre monomi in forma normale e calcolare mcm e MCD #48088

avt
Omega
Amministratore
Prima di avviarci al calcolo di mcm e MCD dei monomi, diventa necessario assicurarsi che essi siano ridotti in forma normale: devono avere un unico coefficiente e un'unica parte letterale senza ripetizioni delle lettere stesse (è proprio la definizione di forma normale di un monomio).

Nel monomio

(2x^2)^2\cdot 3(y^5)^2\cdot 4(z^2)^0=

compaiono diverse potenze di potenze che grazie all'omonima proprietà diventano

\\ =2^{2}x^{2\cdot 2}\cdot 3y^{5\cdot 2}\cdot 4z^{2\cdot 0}= \\ \\ =4x^4\cdot 3y^{10}\cdot 4z^{0}=

Tenendo conto che un numero elevato a zero dà 1 (la base della potenza dev'essere diversa da zero) ed eseguendo le moltiplicazioni tra i monomi, otteniamo

=48x^4 y^{10}

Semplifichiamo la seconda espressione, ossia

2x^4 y^7z^3+2x^4y^2\cdot 2 y^5z^3=

svolgendo il prodotto delle potenze in base y

\\ =2x^4 y^7 z^3+4x^4y^{2+5}z^3= \\ \\ =2x^4 y^7 z^3+4x^4 y^{7}z^3=

e sommando i monomi simili otteniamo

=6x^4y^7 z^3

Il problema si riduce quindi a calcolare il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore dei seguenti monomi a coefficienti interi

48 x^4 y^{10}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ 6x^4y^7z^3

In accordo con la teoria, il massimo comune divisore tra due monomi è un monomio avente per parte numerica il massimo comune divisore delle parti numeriche e per parte letterale il prodotto delle lettere comuni ai due monomi dati, prese con l'esponente più piccolo.

Il minimo comune multiplo è invece quel monomio il cui coefficiente coincide con il minimo comune multiplo dei coefficienti e la cui parte letterale si ottiene moltiplicando tra loro le lettere comuni e non comuni, presa ciascuna con il più grande esponente con cui compare.

Per ricavare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra i coefficienti, ossia tra 48 e 6, è sufficiente notare che 48 è un multiplo di 6, conseguentemente

mcm(48,\ 6)=48\ \ \ \mbox{e} \ \ \ MCD(48, \ 6)=6

Dedichiamoci alle parti letterali, però prima attribuiamo gli esponenti a ciascuna lettera:

- gli esponenti della lettera x sono entrambi 4;

- gli esponenti della lettera y sono 10 e 7;

- l'unico esponente di z è 3.

Queste informazioni sono più che sufficienti a concludere quanto segue: il massimo comune divisore tra i monomi dati è

MCD(48 x^4 y^{10}, \ 6x^4y^7z^3)=6x^4y^7

mentre il minimo comune multiplo è

mcm(48 x^4 y^{10}, \ 6x^4y^7z^3)=48x^4y^{10}z^3

L'esercizio è concluso.
Ringraziano: DottorBoss, Hesse
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