Esercizio su equazione frazionaria di primo grado

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Esercizio su equazione frazionaria di primo grado #4805

avt
matteo
Sfera
Come faccio a risolvere un'equazione di primo grado fratta in cui compare una divisione? Ho impostato le condizioni di esistenza e svolto i calcoli, ma il risultato non vuole venire fuori.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione frazionaria di primo grado

((x)/(12)-(12)/(x)):(1+(12)/(x)) = (x-12)/(12)
 
 

Esercizio su equazione frazionaria di primo grado #4824

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere l'equazione fratta di primo grado

((x)/(12)-(12)/(x)):(1+(12)/(x)) = (x-12)/(12)

imponiamo sin da subito le condizioni di esistenza. Poiché non è possibile dividere per zero dobbiamo richidere che siano non nulli sia i denominatori che contengono l'incognita, sia il termine divisore. Oltre alla condizione:

x ne 0

dobbiamo imporre che

1+(12)/(x) ne 0 → (x+12)/(x) ne 0 → x ne-12

In definitiva l'insieme di esistenza dell'equazione è:

C.E.: x ne-12 ∧ x ne 0

Il prossimo passaggio consiste nello svolgere le operazioni con il fine ultimo di ricondurci alla forma normale dell'equazione. Iniziamo dalla differenza tra frazioni algebriche all'interno delle parentesi tonde

(x^2-144)/(12x):((x+12)/(x)) = (x-12)/(12)

dopodiché trasformiamo la divisione nel prodotto tra il dividendo per il reciproco del divisore (è sufficiente ribaltare la frazione algebrica)

(x^2-144)/(12x)·(x)/(x+12) = (x-12)/(12)

Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni

(x^2-144)/(12x)·(x)/(x+12)-(x-12)/(12) = 0

e scomponiamo la differenza di quadrati x^2-144

((x+12)(x-12))/(12x)·(x)/(x+12)-(x-12)/(12) = 0

A questo punto effettuiamo il prodotto tra le frazioni algebriche semplificando in croce x+12 e in seguito x

(x-12)/(12)·1-(x-12)/(12) = 0

da cui

(x-12)/(12)-(x-12)/(12) = 0 → 0 = 0

Ci siamo ricondotti a un'identità condizionata dalle condizioni di esistenza.

Possiamo concludere pertanto che l'equazione è indeterminata ed è soddisfatta per ogni numero reale x diverso da -12 e 0. Il suo insieme soluzione può essere espresso come:

S = R--12, 0
Ringraziano: Ifrit, matteo
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Os