Esercizio su equazione frazionaria di primo grado

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Esercizio su equazione frazionaria di primo grado #4805

avt
matteo
Sfera
Come faccio a risolvere un'equazione di primo grado fratta in cui compare una divisione? Ho impostato le condizioni di esistenza e svolto i calcoli, ma il risultato non vuole venire fuori.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione frazionaria di primo grado

\left(\frac{x}{12}-\frac{12}{x}\right):\left(1+\frac{12}{x}\right)=\frac{x-12}{12}
 
 

Esercizio su equazione frazionaria di primo grado #4824

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per risolvere l'equazione fratta di primo grado

\left(\frac{x}{12}-\frac{12}{x}\right):\left(1+\frac{12}{x}\right)=\frac{x-12}{12}

imponiamo sin da subito le condizioni di esistenza. Poiché non è possibile dividere per zero dobbiamo richidere che siano non nulli sia i denominatori che contengono l'incognita, sia il termine divisore. Oltre alla condizione:

x\ne 0

dobbiamo imporre che

1+\frac{12}{x}\ne 0 \ \ \to \ \ \frac{x+12}{x}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -12

In definitiva l'insieme di esistenza dell'equazione è:

C.E.:\ x\ne -12 \ \wedge \ x\ne 0

Il prossimo passaggio consiste nello svolgere le operazioni con il fine ultimo di ricondurci alla forma normale dell'equazione. Iniziamo dalla differenza tra frazioni algebriche all'interno delle parentesi tonde

\frac{x^2-144}{12x}:\left(\frac{x+12}{x}\right)=\frac{x-12}{12}

dopodiché trasformiamo la divisione nel prodotto tra il dividendo per il reciproco del divisore (è sufficiente ribaltare la frazione algebrica)

\frac{x^2-144}{12x}\cdot\frac{x}{x+12}=\frac{x-12}{12}

Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni

\frac{x^2-144}{12x}\cdot\frac{x}{x+12}-\frac{x-12}{12}=0

e scomponiamo la differenza di quadrati x^2-144

\frac{(x+12)(x-12)}{12x}\cdot\frac{x}{x+12}-\frac{x-12}{12}=0

A questo punto effettuiamo il prodotto tra le frazioni algebriche semplificando in croce x+12 e in seguito x

\frac{x-12}{12}\cdot 1-\frac{x-12}{12}=0

da cui

\frac{x-12}{12}-\frac{x-12}{12}=0 \ \ \to \ \ 0=0

Ci siamo ricondotti a un'identità condizionata dalle condizioni di esistenza.

Possiamo concludere pertanto che l'equazione è indeterminata ed è soddisfatta per ogni numero reale x diverso da -12 e 0. Il suo insieme soluzione può essere espresso come:

S=\mathbb{R}-\{-12, 0\}
Ringraziano: Ifrit, matteo
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Os