Esercizio equazione logaritmica di secondo grado

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Esercizio equazione logaritmica di secondo grado #47910

\|complicato\| Punto	Mi è capitata un'equazione logaritmica che dovrei risolvere mediante una sostituzione, però non capisco quale possa essere. Potreste darmi una mano per favore? Utilizzare un'opportuna sostituzione per risolvere l'equazione logaritmica $3\log^2(x)-2\log(x)=0$ Grazie.

Esercizio equazione logaritmica di secondo grado #47982

Omega

Amministratore

Come la traccia suggerisce, possiamo risolvere agevolmente l'equazione logaritmica

$3\log^2(x)-2\log(x)=0$

operando una sostituzione che consenta di semplificare i calcoli, ma prima imponiamo le condizioni di esistenza pretendendo che gli argomenti dei logaritmi siano positivi, vale a dire:

$C.E.:\ x>0$

La sostituzione utile a svolgere l'esercizio è semplicemente

$t=\log(x)\ \ \ \to \ \ \ t^2=\log^2(x)$

grazie alla quale l'equazione diventa

Essa è chiaramente un'equazione spuria, le cui soluzioni si ottengono facilmente raccogliendo totalmente

al primo membro e invocando in seguito la legge di annullamento del prodotto

da cui seguono le due equazioni lineari

$t=0 \ \ \ , \ \ \ 3t-2=0 \ \ \ \to \ \ \ t=\frac{2}{3}$

Non ci resta che ripristinare l'incognita

. Poiché $t=\log(x)$ allora:

- la relazione

si traduce nell'equazione logaritmica elementare

$\log(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=1$

- la relazione $t=\frac{2}{3}$ diventa

$\log(x)=\frac{2}{3}$

da cui, applicando l'esponenziale in base 10 membro a membro otteniamo

$x=10^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{10^2}=\sqrt[3]{100}$

Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo fatto uso della definizione di potenza con esponente fratto. L'insieme delle soluzioni dell'equazione

$3\log^2(x)-2\log(x)=0$

è quindi

$S=\left\{1,\sqrt[3]{100}\right\}$

Abbiamo finito.

Ringraziano: Ifrit

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