Esercizio equazione logaritmica di secondo grado

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Esercizio equazione logaritmica di secondo grado #47910

avt
|complicato|
Punto
Mi è capitata un'equazione logaritmica che dovrei risolvere mediante una sostituzione, però non capisco quale possa essere. Potreste darmi una mano per favore?

Utilizzare un'opportuna sostituzione per risolvere l'equazione logaritmica

3log^2(x)-2log(x) = 0

Grazie.
 
 

Esercizio equazione logaritmica di secondo grado #47982

avt
Omega
Amministratore
Come la traccia suggerisce, possiamo risolvere agevolmente l'equazione logaritmica

3log^2(x)-2log(x) = 0

operando una sostituzione che consenta di semplificare i calcoli, ma prima imponiamo le condizioni di esistenza pretendendo che gli argomenti dei logaritmi siano positivi, vale a dire:

C.E.: x > 0

La sostituzione utile a svolgere l'esercizio è semplicemente

t = log(x) → t^2 = log^2(x)

grazie alla quale l'equazione diventa

3t^2-2t = 0

Essa è chiaramente un'equazione spuria, le cui soluzioni si ottengono facilmente raccogliendo totalmente t al primo membro e invocando in seguito la legge di annullamento del prodotto

t(3t-2) = 0

da cui seguono le due equazioni lineari

t = 0 , 3t-2 = 0 → t = (2)/(3)

Non ci resta che ripristinare l'incognita x. Poiché t = log(x) allora:

- la relazione t = 0 si traduce nell'equazione logaritmica elementare

log(x) = 0 → x = 1

- la relazione t = (2)/(3) diventa

log(x) = (2)/(3)

da cui, applicando l'esponenziale in base 10 membro a membro otteniamo

x = 10^((2)/(3)) = [3]√(10^2) = [3]√(100)

Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo fatto uso della definizione di potenza con esponente fratto. L'insieme delle soluzioni dell'equazione

3log^2(x)-2log(x) = 0

è quindi

S = 1,[3]√(100)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Ifrit
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Os