Esercizio equazione logaritmica di secondo grado

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Esercizio equazione logaritmica di secondo grado #47910

avt
|complicato|
Cerchio
Mi è capitata un'equazione logaritmica che dovrei risolvere mediante una sostituzione, però non capisco quale possa essere. Potreste darmi una mano per favore?

Utilizzare un'opportuna sostituzione per risolvere l'equazione logaritmica

3\log^2(x)-2\log(x)=0

Grazie.
 
 

Esercizio equazione logaritmica di secondo grado #47982

avt
Omega
Amministratore
Come la traccia suggerisce, possiamo risolvere agevolmente l'equazione logaritmica

3\log^2(x)-2\log(x)=0

operando una sostituzione che consenta di semplificare i calcoli, ma prima imponiamo le condizioni di esistenza pretendendo che gli argomenti dei logaritmi siano positivi, vale a dire:

C.E.:\ x>0

La sostituzione utile a svolgere l'esercizio è semplicemente

t=\log(x)\ \ \ \to \ \ \ t^2=\log^2(x)

grazie alla quale l'equazione diventa

3t^2-2t=0

Essa è chiaramente un'equazione spuria, le cui soluzioni si ottengono facilmente raccogliendo totalmente t al primo membro e invocando in seguito la legge di annullamento del prodotto

t(3t-2)=0

da cui seguono le due equazioni lineari

t=0 \ \ \ , \ \ \ 3t-2=0 \ \ \ \to \ \ \ t=\frac{2}{3}

Non ci resta che ripristinare l'incognita x. Poiché t=\log(x) allora:

- la relazione t=0 si traduce nell'equazione logaritmica elementare

\log(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=1

- la relazione t=\frac{2}{3} diventa

\log(x)=\frac{2}{3}

da cui, applicando l'esponenziale in base 10 membro a membro otteniamo

x=10^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{10^2}=\sqrt[3]{100}

Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo fatto uso della definizione di potenza con esponente fratto. L'insieme delle soluzioni dell'equazione

3\log^2(x)-2\log(x)=0

è quindi

S=\left\{1,\sqrt[3]{100}\right\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Ifrit
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Os