Esercizio quadrato di trinomio con numeri decimali

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Esercizio quadrato di trinomio con numeri decimali #47871

avt
Federica90
Cerchio
Mi serve il vostro aiuto per sviluppare il quadrato di un trinomio a coefficienti decimali. Il mio professore ha suggerito di determinare le frazioni generatrici associate ai numeri con la virgola, però non ricordo più come si fa.

Usare il prodotto notevole relativo al quadrato di un trinomio per semplificare la seguente espressione algebrica.

\left(0,1x^2+x y-0,2\right)^{2}

Grazie.
 
 

Esercizio quadrato di trinomio con numeri decimali #58477

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di sviluppare il quadrato di trinomio

\left(0,1x^2+xy-0,2\right)^{2}

conviene esprimere i numeri decimali 0,1 \ \mbox{e} \ 0,2 nelle rispettive frazioni generatrici.

Ricordiamo che la frazione generatrice associata a un numero decimale limitato è quella frazione avente:

- per numeratore, il numero decimale senza la virgola;

- per denominatore, un uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale.

Nel caso fosse possibile, riduciamo la frazione ai minimi termini.

Seguendo questa regola, le frazioni associate ai numeri decimali sono:

0,1=\frac{1}{10}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ 0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}

per cui l'espressione iniziale diventa:

\left(\frac{1}{10}x^2+xy-\frac{1}{5}\right)^2

Per svilupparla, possiamo usare il prodotto notevole

(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

che consente di sviluppare il quadrato della somma di tre termini come la somma tra il quadrato del primo, il quadrato del secondo e il quadrato del terzo, a cui aggiungiamo inoltre il doppio prodotto tra il primo e secondo termine, quello tra il primo e terzo e quello tra secondo e terzo.

Nel caso in esame, il trinomio base è dato dalla somma dei monomi

A=\frac{1}{10}x \ \ \ , \ \ \ B=xy \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C=-\frac{1}{5}

pertanto il prodotto notevole consente di scrivere l'uguaglianza:

\\ \left(\frac{1}{10}x^2+x y+\left(-\frac{1}{5}\right)\right)^2= \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{10}x^2\right)^2+(x y)^2+\left(-\frac{1}{5}\right)^2+2\cdot\frac{1}{10}x^2\cdot x y+2\cdot\frac{1}{10}x^2\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)+2\cdot\left(x y\right)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)=

Non ci resta che svolgere le operazioni tra i monomi, usando come si devono le proprietà delle potenze e la regola dei segni.

\\ =\frac{1}{10^2}x^{2\cdot 2}+x^2y^2+\frac{1}{25}+\frac{1}{5}x^3 y-\frac{1}{25}x^2-\frac{2}{5}x y= \\ \\ \\ =\frac{1}{100}x^{4}+x^2 y^2+\frac{1}{25}+\frac{1}{5}x^3 y-\frac{1}{25}x^2-\frac{2}{5}xy

In buona sostanza, possiamo concludere che lo sviluppo richiesto è:

\\ \left(0,1x^2+xy-0,2\right)^2= \\ \\ \\ =\frac{1}{100}x^{4}+x^2 y^2+\frac{1}{25}+\frac{1}{5}x^3 y-\frac{1}{25}x^2-\frac{2}{5}xy

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, xavier310
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Os