Equazione goniometrica riconducibile a lineare in seno e coseno

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Equazione goniometrica riconducibile a lineare in seno e coseno #47815

avt
FAQ
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione goniometrica che grazie alle formule degli archi associati si riconduce a un'equazione lineare in seno e coseno. La traccia impone però di utilizzare il metodo dell'angolo aggiunto con cui non ho molta dimestichezza. Spero possiate aiutarmi.

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{3}

riconducendola a un'equazione lineare in seno e coseno e avvalendosi del metodo dell'angolo aggiunto.

Grazie.
Ringraziano: LittleMar, Ifrit
 
 

Equazione goniometrica riconducibile a lineare in seno e coseno #47825

avt
Galois
Coamministratore
L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione goniometrica

\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{3}

nella quale i seni hanno argomenti differenti: proponiamoci come obiettivo quello di ricondurci a un'equazione lineare in seno e coseno usando la formula degli archi associati

\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Grazie a questa identità, siamo in grado di scrivere l'equazione data nella forma

\cos(x)+\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{3}

o ancora meglio

\sqrt{3}\sin(x)+\cos(x)=\sqrt{3}

Adesso che l'equazione è in forma normale possiamo applicare il metodo dell'angolo aggiunto: esso prevede di calcolare un numero reale non negativo R e un angolo \phi, compreso tra 0\ \mbox{e} \ 2\pi, a partire dai coefficienti di seno e coseno, grazie ai quali ci riconduciamo a un'equazione goniometrica elementare del tipo

R\sin(x+\phi)=C

In maniera esplicita, R si ricava estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti, vale a dire

R=\sqrt{A^2+B^2}

dove A è il coefficiente di \sin(x) mentre B è il coefficiente di \cos(x) che nel caso in esame valgono rispettivamente

A=\sqrt{3} \ \ \  , \ \ \ B=1

per cui

R=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2

Per quanto concerne l'angolo aggiunto \phi, dobbiamo impostare il sistema di equazioni

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{B}{R}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{A}{R}\end{cases}

ossia

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{1}{2}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}

Da qui comprendiamo che l'angolo aggiunto vale

\phi=\frac{\pi}{6}

Con i valori di R\ \mbox{e} \ \phi possiamo costruire l'equazione equivalente

2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}

da cui dividendo i due membri per 2

\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Ricordiamo che il seno di un angolo è pari a \frac{\sqrt{3}}{2} se l'angolo vale

\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ \frac{2\pi}{3}+2k\pi

]al variare di k nell'insieme dei numeri interi, pertanto la precedente equazione è equivalente a

\\ x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+2k\pi \\ \\ \mbox{oppure} \\ \\ x+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}+2k\pi

Entrambe sono equazioni di primo grado in x che risolviamo isolando l'incognita al primo membro. Dalla prima ricaviamo

x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

ossia

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \mbox{con}\  k\in\mathbb{Z}

Per la seconda equazione scriviamo invece:

x=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}+2k\pi

vale a dire

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di concludere che le soluzioni dell'equazione

\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{3}

sono

\\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ \frac{\pi}{2}+2k\pi \\ \\ \\ \mbox{con}\  k\in\mathbb{Z}

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar
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Os