Esercizi sulla divisione tra monomi

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Esercizi sulla divisione tra monomi #47469

avt
matteo
Sfera
Mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio in cui mi viene chiesto di calcolare il quoziente di alcune coppie di monomi, solo dopo aver verificato che sia soddisfatta la condizione di divisibilità. Sinceramente non ho capito benissimo cosa devo fare, per questo chiedo il vostro intervento.

Dopo aver verificato che sia soddisfatta la condizione di divisibilità, determinare i quozienti delle seguenti coppie di monomi, se possibile.

\\ (a) \ \ \ 4x^3 y z^2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -2x^2 yz^2 \\ \\ (b) \ \ \ -12a^4 b^7c \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -3 ab^3 \\ \\  (c) \ \ \ 30 a^4 bc \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -2 ab^2

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois
 
 

Esercizi sulla divisione tra monomi #47474

avt
Galois
Coamministratore
L'esercizio si articola essenzialmente in due richieste: nella prima dobbiamo controllare che il primo monomio di ogni coppia sia divisibile per il secondo; nella seconda dobbiamo, invece, svolgere le divisioni tra i monomi.

Prima di avventurarci nei calcoli, riportiamo le definizioni che occorreranno nella risoluzione.

Affinché un monomio (dividendo) è divisibile per un altro (divisore) è necessario che il dividendo contenga tutte le lettere che compaiono nel divisore, elevate ciascuna a un esponente maggiore o uguale a quello che essa ha nel divisore.

Se la condizione di divisibilità è soddisfatta, il quoziente tra i monomi è a sua volta un monomio che ha:

- per coefficiente, il quoziente dei coefficienti;

- per parte letterale, il quoziente delle parti letterali: lavoreremo con i fattori letterali, sfruttando le proprietà delle potenze e in particolare la proprietà sul quoziente di due potenze con la stessa base.

Se la condizione di divisibilità non è soddisfatta, l'espressione rimane così com'è.

Dopo questa lunga premessa, possiamo occuparci dell'esercizio

(a) Consideriamo i due monomi

4x^3 y z^2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -2x^2 yz^2

e verifichiamo che sia soddisfatta la condizione di divisibilità. Nel monomio 4x^3yz^2 compaiono tutte le lettere della parte letterale di -2x^2yz^2, ciascuna con un esponente maggiore o al più uguale, per cui possiamo affermare che il dividendo è divisibile per il divisore.

Calcoliamo il quoziente

4x^3 yz^2:(-2x^2 yz^2)=

attenendoci alla definizione: dividiamo tra loro i coefficienti e le parti letterali rispettivamente.

\\ =(4:(-2))x^{3-2}y^{1-1}z^{2-2}=-2x^{1}y^{0}z^{0}=

Poiché per definizione una potenza con esponente nullo è uguale a 1, il risultato della divisione è:

=-2x

Il primo è andato.



(b) Occupiamoci della seconda coppia di monomi

 -12a^4 b^7c \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -3 ab^3

Chiaramente la condizione di divisibilità è verificata: si noti che nel primo monomio figurano tutte le lettere del secondo, elevate ciascuna a un esponente maggiore o uguale a quelli che hanno nel secondo.

In base alla teoria, il loro quoziente è un monomio avente per parte numerica uguale al quoziente dei coefficienti e per per parte letterale il quoziente delle parti letterali, per cui scriviamo:

\\ (-12a^{4}b^{7}c):(-3ab^3)=(-12:(-3))a^{4-1}b^{7-3}c=\\ \\ =4a^{3}b^{4}c

Nel momento in cui abbiamo diviso i coefficienti, abbiamo sfruttato la regola dei segni per stabilire il segno del risultato.



(c) Verifichiamo la condizione di divisibilità del monomio 30 a^4 bc per -2 ab^2. In questa circostanza, l'esponente della lettera b nel primo monomio è uno, mentre nel secondo è due: poiché il primo è minore del secondo, non vige la condizione di divisibilità, pertanto il loro quoziente non è un monomio.



Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os