Esercizio sistema di equazioni di secondo grado con coefficienti fratti

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Esercizio sistema di equazioni di secondo grado con coefficienti fratti #46409

avt
Pantheron91
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un sistema di equazioni non lineari e a coefficienti fratti. Le mie difficoltà risiedono essenzialmente nei calcoli: non so come esprimere il sistema in forma normale. Potreste aiutarmi?

Calcolare le soluzioni del seguente sistema di equazioni non lineari

\begin{cases}\dfrac{(x+2)(y-1)}{2}-\dfrac{(x-1)(y+2)}{3}=6\\ \\ \left(\dfrac{x-2}{2}\right)^2-\dfrac{x^2+y}{4}=2\end{cases}

Confido nel vostro aiuto. Grazie.
 
 

Esercizio sistema di equazioni di secondo grado con coefficienti fratti #46448

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere il sistema di equazioni non lineari

\begin{cases}\dfrac{(x+2)(y-1)}{2}-\dfrac{(x-1)(y+2)}{3}=6\\ \\ \left(\dfrac{x-2}{2}\right)^2-\dfrac{x^2+y}{4}=2\end{cases}

è necessario semplificare le espressioni e ricondurre il sistema in forma normale. Iniziamo con il calcolo del minimo comun denominatore nella prima equazione, dopodiché usiamo le proprietà delle potenze per esplicitare il primo termine della seconda equazione

\begin{cases}\dfrac{3(x+2)(y-1)-2(x-1)(y+2)}{6}=\dfrac{36}{6}\\ \\ \dfrac{(x-2)^2}{4}-\dfrac{x^2+y}{4}=2\end{cases}

Cancellati i denominatori dalla prima equazione e espressa la seconda a denominatore comune, il sistema diventa

\begin{cases}3(x+2)(y-1)-2(x-1)(y+2)=36\\ \\ \dfrac{(x-2)^2-(x^2+y)}{4}=\dfrac{8}{4}\end{cases}

da cui

\begin{cases}3(x+2)(y-1)-2(x-1)(y+2)=36\\ \\ (x-2)^2-(x^2+y)=8\end{cases}

Esplicitiamo i prodotto tra i polinomi e il quadrato di binomio (x-2)^2

\begin{cases}3xy-3x+6y-6+4-4x+2y-2xy=36\\ \\ x^2-4x+4-x^2-y=8\end{cases}

A questo punto sommiamo tra loro i monomi simili ottenendo il sistema equivalente espresso in forma normale

\begin{cases}xy-7x+8y-38=0\\ \\ -4x-y-4=0\end{cases}

Dall'equazione lineare esprimiamo y in termini di x

-4x-y-4=0 \ \ \ \to \ \ \ y=-4x-4

e sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima equazione del sistema

\begin{cases}x(-4x-4)-7x+8(-4x-4)-38=0\\ \\ y=-4x-4\end{cases}

Una volta svolti i prodotti e sommati tra loro i monomi simili, la prima relazione del sistema si tramuta in un'equazione di secondo grado nell'incognita x

\begin{cases}-4x^2-43x-70=0\\ \\ y=-4x-4\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}4x^2+43x+70=0\\ \\ y=-4x-4\end{cases}

Per il momento tralasciamo la seconda relazione e occupiamoci esclusivamente della prima

4x^2+43x+70=0

Essa è la risolvente del sistema e le sue soluzioni, se esistono, rappresentano le ascisse delle coppie (x,y) che soddisfano le equazioni del sistema dato.

Per poterle ricavare indichiamo con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, ossia:

a=4 \ \ \ , \ \ \ b=43 \ \ \ , \ \ \ c=70

e con questi valori calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=43^2-4\cdot 4\cdot 70=729

Poiché il Delta è positivo, l'equazione in x ammette due soluzioni reali e distinte

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-43\pm\sqrt{729}}{2\cdot 4}=\frac{-43\pm 27}{8}= \\ \\ \\ =\begin{cases}\frac{-43-27}{8}=-\frac{70}{8}=-\frac{35}{4}=x_{1}\\ \\ \frac{-43+27}{8}=-\frac{16}{8}=-2=x_2\end{cases}

A ciascuna di esse dovremo associare il corrispettivo valore di y, determinato dalla relazione y=-4x-4. Più precisamente:

- a x=-\frac{35}{4} associamo y=-4\left(-\frac{35}{4}\right)-4=31, di conseguenza la coppia

(x,y)=\left(-\frac{35}{4},31\right)

è una soluzione del sistema;

- a x=-2 associamo y=-4\cdot (-2)-4=4, per cui la coppia

(x,y)=(-2,4)

è un'ulteriore soluzione del sistema dato.

Possiamo concludere che le uniche coppie che soddisfano il sistema

\begin{cases}\dfrac{(x+2)(y-1)}{2}-\dfrac{(x-1)(y+2)}{3}=6\\ \\ \left(\dfrac{x-2}{2}\right)^2-\dfrac{x^2+y}{4}=2\end{cases}

sono:

(x,y)=\left(-\frac{35}{4}, 31\right)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ (x,y)=(-2,4)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco
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Os