Esercizio sistema di equazioni di secondo grado con termini misti

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esercizio sistema di equazioni di secondo grado con termini misti #46356

avt
irene21
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per determinare le soluzioni di un sistema in due equazioni non lineari e in due incognite. Ho tentato di esprimere le equazioni in forma normale svolgendo il quadrato di binomio e sommando i termini simili, però i calcoli diventano via via più complicati.

Determinare tutte e sole le coppie (x,y) che soddisfano il seguente sistema di equazioni:

\begin{cases}(x-3)^2=3x(y-2)\\ \\ 2xy=3x+3\end{cases}
Ringraziano: Pi Greco
 
 

Esercizio sistema di equazioni di secondo grado con termini misti #46371

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo prevede di determinare tutte le coppie (x,y) che soddisfano il sistema di equazioni non lineari

\begin{cases}(x-3)^2=3x(y-2)\\ \\ 2xy=3x+3\end{cases}

Prima di tutto occorre esprimere le equazioni in forma normale: bisogna sviluppare il quadrato di binomio (x-3)^2, svolgere il prodotto al secondo membro della prima equazione e sommare i monomi simili

\begin{cases}x^2-6x+9=3xy-6x\\ \\ 2xy=3x+3\end{cases}

A questo punto dividiamo i termini della seconda uguaglianza per 2, così da esprimere il prodotto xy in termini della sola x

\begin{cases}x^2-6x+9=3xy-6x\\ \\ xy=\dfrac{3x+3}{2}\end{cases}

Non ci resta che rimpiazzare l'espressione ottenuta nella prima equazione e svolgere i calcoli che ne conseguono

\begin{cases}x^2-6x+9=3\cdot\left(\dfrac{3x+3}{2}\right)-6x\\ \\ xy=\dfrac{3x+3}{2}\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x^2-6x+9=\dfrac{9x+9}{2}-6x\\ \\ xy=\dfrac{3x+3}{2}\end{cases}

Occupiamoci della prima equazione e svolgiamo i calcoli in modo che sia espressa in forma normale

\\ 2x^2-12x+18=9x+9-12x\\ \\ 2x^2-9x+18=0

Siamo quindi autorizzati a scrivere il sistema nella forma equivalente

\begin{cases}2x^2-9x+9=0\\ \\ xy=\dfrac{3x+3}{2}\end{cases}

L'equazione di secondo grado

2x^2-9x+9=0

è detta risolvente del sistema e le sue soluzioni (se esistono) rappresentano i valori da attribuire a x. Indichiamo con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=-9 \ \ \ , \ \ \ c=9

e calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot 2\cdot 9=9

Poiché il Delta è positivo, l'equazione in x ammette due soluzioni reali e distinte e sono:

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-9)\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{9\pm 3}{4}= \\ \\ \\ =\begin{cases}\frac{9-3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=x_1 \\ \\ \frac{9+3}{4}=\frac{12}{4}=3=x_2\end{cases}

Noti i valori di x, occorre determinare i rispettivi valori di y: nulla di complicato! Basta infatti riscrivere la relazione

xy=\frac{3x+3}{2}

sostituendo a x i valori trovati.

Se x=\frac{3}{2}, la relazione precedente diventa

\frac{3}{2}y=\frac{3\cdot\frac{3}{2}+3}{2} \ \ \ \to \ \ \ \frac{3}{2}y=\frac{\frac{9}{2}+3}{2}

e svolgendo i calcoli al numeratore principale ricaviamo

\frac{3}{2}y=\frac{\frac{15}{2}}{2}

Scriviamo in forma normale la frazione di frazioni al secondo membro

\frac{3}{2}y=\frac{15}{2}\cdot\frac{1}{2}\ \ \ \to \ \ \ \frac{3}{2}y=\frac{15}{4}

Risolviamo l'equazione di primo grado in y moltiplicando i due membri per \frac{2}{3} ed effettuando le opportune semplificazioni.

y=\frac{15}{4}\cdot\frac{2}{3} \ \ \ \to \ \ \ y=\frac{5}{2}

Possiamo affermare che una coppia che soddisfa le equazioni del sistema è:

(x,y)=\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)

Se x=3, allora xy=\frac{3x+3}{2} diventa

3y=\frac{9+3}{2} \ \ \ \to \ \ \ 3y=6 \ \ \ \to \ \ \ y=2

ergo la coppia (x,y)=(3,2) è un'altra soluzione del sistema dato.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
  • Pagina:
  • 1
Os