Problema di Algebra da risolvere con le equazioni di primo grado

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Problema di Algebra da risolvere con le equazioni di primo grado #46122

avt
nutella
Punto
Non riesco a svolgere questo problema che devo risolvere usando le equazioni di primo grado. Mi potreste aiutare?

Una somma di 500 euro è formata da monetine da 50 centesimi, 1 e 2 euro. Il numero delle monete da 2 euro è i \frac{3}{2} del numero di quelle da un euro. Si trovi il numero di monete da 50 centesimi sapendo che è i \frac{4}{5} del numero complessivo delle altre monete.

Grazie.
 
 

Re: Problema di Algebra da risolvere con le equazioni di primo grado #46165

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere il problema con le equazioni indichiamo con x il numero di monete da 1 euro.

L'esercizio ci informa che il numero di monete da 2 euro è i \frac{3}{2} del numero di monete da 1 euro, vale a dire

\frac{3}{2}x

La somma tra il numero di monete da 1 euro e il numero di monete da 2 euro si ricava sommando tra loro le espressioni ricavate

\mbox{Numero monete 1 e 2 euro}=x+\frac{3}{2} x

Il numero di monete da 50 centesimi è i \frac{4}{5} del numero complessivo delle altre monete, ossia

\mbox{Numero monete 50 cent.}=\frac{4}{5}\left(x+\frac{3}{2}x\right)

Osserviamo ora che:

- il valore prodotto da x monete da 1 euro è chiaramente 1\cdot x;

- il valore prodotto da \frac{3}{2}x monete da 2 euro è 2\cdot\frac{3}{2}x;

- il valore prodotto da \frac{4}{5}\left(x+\frac{x}{2}\right) monete da 50 centesimi è dato da

\frac{50}{100}\cdot\frac{4}{5}\left(x+\frac{x}{2}\right)

Con queste informazioni, possiamo impostare l'equazione di primo grado che risolve il problema:

1\cdot x+2\cdot\frac{3}{2}x+\frac{50}{100}\cdot\frac{4}{5}\left(x+\frac{3}{2}x\right)=500

Riduciamo le frazioni ai minimi termini

x+3 x+\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{5}\left(x+\frac{3}{2}x\right)=500

e sommiamo i termini simili dentro le parentesi:

x+3 x+\frac{2}{5}\left(\frac{5}{2}x\right)=500

Semplifichiamo

x+3x+x=500

e sommiamo tra loro i termini simili

5x=500

Isoliamo l'incognita a sinistra dell'uguale dividendo per 5

x=\frac{500}{5} \ \ \to \ \ x=100

100 è il numero di monete da 1 euro, il numero di monete da 50 centesimi si ricava sostituendo 100 a ogni x nell'espressione

\frac{4}{5}\left(x+\frac{3}{2}x\right)

da cui ricaviamo

\\ \frac{4}{5}\left(100+\frac{3}{2}\cdot 100\right)= \\ \\ \\ =\frac{4}{5}\left(100+\frac{300}{2}\right)=\frac{4}{5}\left(100+150\right)= \\ \\ =\frac{4}{5}\cdot 250=4\cdot 50=200

Vi sono quindi 200 monete da 50 centesimi.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, nutella
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Os