Esercizio equazione logaritmica con basi diverse

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Esercizio equazione logaritmica con basi diverse #45876

\|complicato\| Cerchio	Dovrei risolvere un'equazione logaritmica in cui compaiono logaritmi con basi differenti. Nonostante abbia utilizzato la formula del cambiamento di base dei logaritmi, non ottengo le soluzioni proposte dal libro Calcolare le soluzioni dell'equazione logaritmica $\log_{\frac{1}{3}}(3x^2)-\log_{3}(3x)-1=0$ Grazie.
	Ringraziano: Pi Greco

Esercizio equazione logaritmica con basi diverse #48620

Ifrit

Ambasciatore

Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione logaritmica

$\log_{\frac{1}{3}}(3x^2)-\log_{3}(3x)-1=0$

Essa è caratterizzata dalla presenza di due logaritmi che non hanno la stessa base. Prima di procedere oltre, imponiamo le condizioni di esistenza: richiederemo che gli argomenti dei logaritmi siano positivi.

$3x^2>0\ \ \ \to \ \ \ x^2>0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0$

è la condizione di esistenza di $\log_{\frac{1}{3}}(3x^2)$ mentre

$3x>0\ \ \ \to \ \ \ x>0$

è la condizione di esistenza relativa a $\log_{3}(3x)$ . È importante sottolineare che i vincoli precedenti devono valere contemporaneamente, ecco perché costituiranno il sistema di disequazioni

$\begin{cases}x\ne 0 \\ \\ x>0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ x>0$

da cui deduciamo che l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato da:

$C.E.:\ x>0$

Procediamo ora con i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione in forma normale: in questo caso conviene sfruttare la formula del cambiamento di base dei logaritmi e trasformare il logaritmo in base 1/3 in un logaritmo in base 3.

$\log_{\frac{1}{3}}(3x^2)=\frac{\log_{3}(3x^2)}{\log_{3}\left(\frac{1}{3}\right)}=$

In accordo con la definizione di potenza con esponente negativo, $\frac{1}{3}=3^{-1}$ e sfruttando a dovere la proprietà relativa al logaritmo di una potenza, la precedente espressione diverrebbe:

$=\frac{\log_{3}(3x^2)}{-\log_{3}(3)}=\frac{\log_{3}(3x^2)}{-1}=-\log_{3}(3x^2)$

L'equazione

$\log_{\frac{1}{3}}(3x^2)-\log_{3}(3x)-1=0$

si riscrive in maniera equivalente come

$\\ -\log_{3}(3x^2)-\log_{3}(3x)-1=0 \\ \\ \log_{3}(3x^2)+\log_{3}(3x)+1=0$

A questo punto, esprimiamo la somma di logaritmi sotto forma di un unico logaritmo avente per argomento il prodotto degli argomenti

$\log_{3}(3x^2\cdot 3x)+1=0 \ \ \ \to \ \ \ \log_{3}(9x^3)=-1$

Per poterci sbarazzare del logaritmo in base tre, passiamo agli esponenziali a base 3 membro a membro

$3^{\log_{3}(9x^3)}=3^{-1}$

da cui, per definizione stessa di logaritmo

$9x^3=\frac{1}{3}\ \ \ \to \ \ \ x^3=\frac{1}{27} \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1}{3}$

Il valore ottenuto rispetta le condizioni di esistenza, pertanto è soluzione dell'equazione iniziale.

Abbiamo finito.

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