Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'
equazione logaritmica
Essa è caratterizzata dalla presenza di due
logaritmi che non hanno la stessa base. Prima di procedere oltre, imponiamo le condizioni di esistenza: richiederemo che gli argomenti dei logaritmi siano positivi.
è la
condizione di esistenza di

mentre
è la condizione di esistenza relativa a

. È importante sottolineare che i vincoli precedenti devono valere contemporaneamente, ecco perché costituiranno il
sistema di disequazioni
da cui deduciamo che l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato da:
Procediamo ora con i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione in forma normale: in questo caso conviene sfruttare la
formula del cambiamento di base dei logaritmi e trasformare il logaritmo in base 1/3 in un logaritmo in base 3.
In accordo con la definizione di
potenza con esponente negativo,

e sfruttando a dovere la proprietà relativa al logaritmo di una potenza, la precedente espressione diverrebbe:
L'equazione
si riscrive in maniera equivalente come
A questo punto, esprimiamo la somma di logaritmi sotto forma di un unico logaritmo avente per argomento il prodotto degli argomenti
Per poterci sbarazzare del logaritmo in base tre, passiamo agli
esponenziali a base 3 membro a membro
da cui, per definizione stessa di logaritmo
Il valore ottenuto rispetta le condizioni di esistenza, pertanto è soluzione dell'equazione iniziale.
Abbiamo finito.