Condizioni sulla somma e sul prodotto delle soluzioni di un'equazione parametrica

Ciao ragazzi! Ho provato in tutti i modi ma non riesco a capire come risolvere un esercizio sulle soluzioni di un'equazione parametrica. Questo:

Determina per quali valori di k l'equazione x^2 - 2kx - 3 = 0 soddisfa le seguenti condizioni:

a. le soluzioni sono reali e opposte;
b. le soluzioni sono reali e reciproche.

Le soluzioni che mette il libro sono rispettivamente k = 0 e nessun valore di k.

Grazie in anticipo, io non ci capisco nulla.

Ciao NAILA

L'equazione che proponi si presenta nella forma:



Dove:

è la somma delle soluzioni della equazione, e , mentre:

è il prodotto delle soluzioni della equazione.


Confrontando l'equazione con
scopriamo che la somma tra le radici è:



mentre il prodotto è:



Diamo il colpo di grazia all'esercizio:

Se le soluzioni sono reali ed opposte, vuol dire che:

(condizione di realtà delle soluzioni)

e

cioè la somma è zero

dobbiamo quindi pretendere che:



Se le soluzioni sono reali e reciproche allora vuol dire che:

, ciò vuol dire che il prodotto delle radici deve essere 1.

Ma dalla equazione scopriamo che il prodotto delle soluzioni della equazione è quindi non esiste alcun valore di k che soddisfa la seconda richiesta dell'esercizio.

Se ti va leggi la lezione sulle equazioni di secondo grado!

Non riesco proprio a capire in che modo si arrivi a quel k = 0.

Come ti dicevo, confrontando l'equazione con l'equazione



scopriamo che la somma delle soluzioni è uguale al coefficiente di x cambiato di segno, cioè:




mentre il prodotto delle soluzioni è uguale al termine noto, cioè:



Detto questo, se le soluzioni sono opposte vuol dire che



e quindi la somma è tra le radici è zero, ma la somma di queste radici a cosa coincide? Coincide con

Dobbiamo imporre quindi che , questa è una equazione di primo grado

Ok! Ora mi è più chiaro
Grazie mille per l'aiuto Ciao!