Esercizio sistema di secondo grado

Mi è capitato un esercizio sui sistemi di equazioni di secondo grado che ho pensato di risolvere per sostituzione, però i conti diventano insostenibili. Suppongo ci sia un trucco per risolverlo, però non capisco quale possa essere.

Risolvere il seguente sistema di secondo grado



Grazie.

Per risolvere il sistema non lineare



bisogna usare la medesima strategia per i sistemi lineari: il metodo di riduzione. In buona sostanza, la strategia consiste nel sostituire un'equazione del sistema con quella che si ottiene sottraendo tra loro i membri così che si possano cancellare i termini quadratici .



Sommati tra loro i monomi simili, la seconda relazione si riduce a un'equazione lineare e il sistema diventa



Si noti che dividendo i termini della seconda equazione per due, ricaviamo il sistema equivalente



A questo punto usiamo la seconda relazione per esprimere in termini di



dopodiché sostituiamo l'espressione nella prima equazione



Per il momento mettiamo da parte la seconda equazione, occupandoci invece della prima



Essa rappresenta la risolvente del sistema e le sue soluzioni costituiscono le ascisse delle coppie soluzione del sistema. Iniziamo a semplificarla usando le proprietà delle potenze



e la formula per lo sviluppo del quadrato di un binomio per espandere



Esprimiamo i termini a denominatore comune



sviluppiamo il prodotto e sommiamo tra loro i monomi simili:



Moltiplichiamo i due membri per 4 e risolviamo l'equazione pura che ne scaturisce:



I valori rappresentano le ascisse delle coppie soluzione e a ciascuna di esse dobbiamo associare le ordinate. Per ricavare i valori di bisogna rimpiazzare i valori di nell'espressione .

A associamo il valore



per cui è una coppia soluzione del sistema.

A associamo il valore



per cui è un'altra coppia soluzione del sistema.

Per concludere, il sistema non lineare



è soddisfatto dalle coppie



Ecco fatto.