Esercizio sistema di secondo grado

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Esercizio sistema di secondo grado #45368

avt
danying
Sfera
Mi è capitato un esercizio sui sistemi di equazioni di secondo grado che ho pensato di risolvere per sostituzione, però i conti diventano insostenibili. Suppongo ci sia un trucco per risolverlo, però non capisco quale possa essere.

Risolvere il seguente sistema di secondo grado

\begin{cases}x^2+y^2+9x+5y-6=0 \\ \\ x^2+y^2+3x+y-4=0\end{cases}

Grazie.
 
 

Esercizio sistema di secondo grado #45371

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per risolvere il sistema non lineare

\begin{cases}x^2+y^2+9x+5y-6=0 \\ \\ x^2+y^2+3x+y-4=0\end{cases}

bisogna usare la medesima strategia per i sistemi lineari: il metodo di riduzione. In buona sostanza, la strategia consiste nel sostituire un'equazione del sistema con quella che si ottiene sottraendo tra loro i membri così che si possano cancellare i termini quadratici x^2\ \mbox{e} \ y^2.

\begin{cases}x^2+y^2+9x+5y-6=0 \\ \\ x^2+y^2+3x+y-4-(x^2+y^2+9x+5y-6)=0\end{cases}

Sommati tra loro i monomi simili, la seconda relazione si riduce a un'equazione lineare e il sistema diventa

\begin{cases}x^2+y^2+9x+5y-6=0 \\ \\ 2-6x-4y=0\end{cases}

Si noti che dividendo i termini della seconda equazione per due, ricaviamo il sistema equivalente

\begin{cases}x^2+y^2+9x+5y-6=0 \\ \\ 1-3x-2y=0\end{cases}

A questo punto usiamo la seconda relazione per esprimere y in termini di x

\begin{cases}x^2+y^2+9x+5y-6=0 \\ \\ y=\dfrac{1-3x}{2}\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione nella prima equazione

\begin{cases}x^2+\left(\dfrac{1-3x}{2}\right)^2+9x+5\left(\dfrac{1-3x}{2}\right)-6=0 \\ \\ y=\dfrac{1-3x}{2}\end{cases}

Per il momento mettiamo da parte la seconda equazione, occupandoci invece della prima

x^2+\left(\frac{1-3x}{2}\right)^2+9x+5\left(\frac{1-3x}{2}\right)-6=0

Essa rappresenta la risolvente del sistema e le sue soluzioni costituiscono le ascisse delle coppie soluzione del sistema. Iniziamo a semplificarla usando le proprietà delle potenze

x^2+\frac{(1-3x)^2}{4}+9x+5\left(\frac{1-3x}{2}\right)-6=0

e la formula per lo sviluppo del quadrato di un binomio per espandere (1-3x)^2

x^2+\frac{1+9x^2-6x}{4}+9x+5\left(\frac{1-3x}{2}\right)-6=0

Esprimiamo i termini a denominatore comune

\frac{4x^2+1+9x^2-6x+36x+10(1-3x)-24}{4}=0

sviluppiamo il prodotto e sommiamo tra loro i monomi simili:

\frac{13x^2-13}{4}=0

Moltiplichiamo i due membri per 4 e risolviamo l'equazione pura che ne scaturisce:

13x^2-13=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2= 1 \ \ \ \to \ \ \ x=-1 \ \ \vee \ \ x=1

I valori x=-1 \ \mbox{e} \ x=1 rappresentano le ascisse delle coppie soluzione e a ciascuna di esse dobbiamo associare le ordinate. Per ricavare i valori di y bisogna rimpiazzare i valori di x nell'espressione y=\frac{1-3x}{2}.

A x=-1 associamo il valore

y=\frac{1-3\cdot (-1)}{2}=\frac{1+3}{2}=2

per cui (x,y)=(-1,2) è una coppia soluzione del sistema.

A x=1 associamo il valore

y=\frac{1-3\cdot 1}{2}=\frac{1-3}{2}=-1

per cui (x,y)=(1,-1) è un'altra coppia soluzione del sistema.

Per concludere, il sistema non lineare

\begin{cases}x^2+y^2+9x+5y-6=0 \\ \\ x^2+y^2+3x+y-4=0\end{cases}

è soddisfatto dalle coppie

(x,y)=(-1,2)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ (x,y)=(1,-1)

Ecco fatto.
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Os