Disequazione a due incognite di secondo grado

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Disequazione a due incognite di secondo grado #45071

avt
nydirac
Punto
Salve a tutti! Ho difficoltà nella risoluzione di una disequazione di secondo grado a due incognite che per me è parecchio imbarazzante... in quanto l'ho risolta pochi mesi fa senza problemi e ora mi sta creando problemi:

y \geq \sqrt{x^2-4y-4}

sono indeciso se è corretto elevare y e la radice al quadrato o se devo utilizzare il sistema per le disequazioni irrazionali...

Premetto che è il mio primo post e probabilmente entro breve sarete stufi per le mie domande continue ( devo mettermi sotto per analisi 1 e ho deciso di fare un bel ripassone generale emt ).
 
 

Re: Disequazione a due incognite di secondo grado #45106

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao nydirac =]

La disequazione:

y\ge \sqrt{x^2-4 y-4}

equivale al sistema:

\begin{cases}y\ge 0\\ x^2-4 y-4\ge 0\\ y^2\ge x^2-4 y-4\end{cases}


A questo punto dobbiamo ragionare un po':

x^2-4y-4\ge 0\iff y\le \frac{x^2}{4}-1


ed è soddisfatta da tutti i punti che stanno sotto la parabola di equazione:

y=\frac{x^2}{4}-1

Consideriamo ora la terza disequazione:

y^2\ge x^2-4 y-4\iff y^2+4 y+4-x^2\ge 0

Osserva che:

y^2+4y+4= (y+2)^2

La disequazione precedente si scrive come:

(y+2)^2-x^2\ge 0

Fattorizziamo vedendo il primo membro come una differenza di quadrati

(y+2+x)(y+2-x)\ge 0

questo prodotto è non negativo se e solo se i fattori sono concordi, hanno cioè lo stesso segno:

\begin{cases}y+2+x\ge 0\\ y+2-x\ge 0\end{cases}\bigcup \begin{cases}y+2-x\le 0\\ y+2+x\le 0\end{cases}

A questo punto rappresenta ciascuna condizione sul piano, così da ottenere:



intersezione_ifrit
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os