Disequazione a due incognite di secondo grado

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Disequazione a due incognite di secondo grado #45071

avt
nydirac
Punto
Salve a tutti! Ho difficoltà nella risoluzione di una disequazione di secondo grado a due incognite che per me è parecchio imbarazzante... in quanto l'ho risolta pochi mesi fa senza problemi e ora mi sta creando problemi:

y ≥ √(x^2-4y-4)

sono indeciso se è corretto elevare y e la radice al quadrato o se devo utilizzare il sistema per le disequazioni irrazionali...

Premetto che è il mio primo post e probabilmente entro breve sarete stufi per le mie domande continue ( devo mettermi sotto per analisi 1 e ho deciso di fare un bel ripassone generale emt ).
 
 

Re: Disequazione a due incognite di secondo grado #45106

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao nydirac =]

La disequazione:

y ≥ √(x^2-4 y-4)

equivale al sistema:

y ≥ 0 ; x^2-4 y-4 ≥ 0 ; y^2 ≥ x^2-4 y-4


A questo punto dobbiamo ragionare un po':

x^2-4y-4 ≥ 0 ⇔ y ≤ (x^2)/(4)-1


ed è soddisfatta da tutti i punti che stanno sotto la parabola di equazione:

y = (x^2)/(4)-1

Consideriamo ora la terza disequazione:

y^2 ≥ x^2-4 y-4 ⇔ y^2+4 y+4-x^2 ≥ 0

Osserva che:

y^2+4y+4 = (y+2)^2

La disequazione precedente si scrive come:

(y+2)^2-x^2 ≥ 0

Fattorizziamo vedendo il primo membro come una differenza di quadrati

(y+2+x)(y+2-x) ≥ 0

questo prodotto è non negativo se e solo se i fattori sono concordi, hanno cioè lo stesso segno:

y+2+x ≥ 0 ; y+2-x ≥ 0 U y+2-x ≤ 0 ; y+2+x ≤ 0

A questo punto rappresenta ciascuna condizione sul piano, così da ottenere:



intersezione_ifrit
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os