Equazione in due incognite con seno e arcoseno

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Equazione in due incognite con seno e arcoseno #44986

avt
irene21
Cerchio
Dovrei risolvere un'equazione in due incognite fratta con seno e arcoseno. Per essere più precisi, avrei bisogno di una mano per rappresentare l'insieme di esistenza delle soluzioni nel piano cartesiano, però non ne sono in grado.

Rappresentare l'insieme delle soluzioni dell'equazione in due incognite

\frac{\sin(x)-y}{x-\arcsin(y)}=0

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, eia93, KikaLedZeppelin
 
 

Equazione in due incognite con seno e arcoseno #44987

avt
Omega
Amministratore
Prima di rappresentare l'insieme delle soluzioni dell'equazione in due incognite

\frac{\sin(x)-y}{x-\arcsin(y)}=0

nel piano cartesiano, bisogna osservare che le incognite compaiono anche al denominatore, pertanto dovremo imporre le dovute condizioni di esistenza: richiederemo che il denominatore sia diverso da zero, vale a dire

x-\arcsin(y)\ne 0

Attenzione, non è l'unica condizione! Affinché l'arcoseno sia una funzione ben definita, dovremo pretendere che il suo argomento appartenga all'intervallo [-1,1], ossia deve sussistere la doppia disequazione

-1\le y\le 1

L'insieme di esistenza associato all'equazione è dettato quindi dai vincoli

C.E.:\ x-\arcsin(y)\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ -1\le y\le 1

Nota: la condizione x-\arcsin(y)\ne 0 equivale a escludere i punti (x,y) del piano cartesiano che realizzano l'equazione in due incognite

x-\arcsin(y)= 0

Analizziamola con maggiore attenzione: isoliamo l'incognita x al primo membro

x=\arcsin(y)

Affinché l'equazione ammetta soluzioni, y\in [-1,1] (condizione di esistenza dell'arcoseno) mentre x deve sottostare al vincolo

-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

La motivazione del vincolo su x è data dal fatto che l'arcoseno è una funzione limitata dalle costanti -\frac{\pi}{2}\ \mbox{e} \ \frac{\pi}{2}, infatti:

-\frac{\pi}{2}\le\arcsin(y)\le \frac{\pi}{2}\ \ \ \mbox{per ogni} \ -1\le y\le 1

e proprio perché il secondo membro di

x=\arcsin(y)

è limitato da -\frac{\pi}{2}\ \mbox{e} \ \frac{\pi}{2} anche il primo deve esserlo, in caso contrario l'uguaglianza non può sussistere.

Inoltre sotto le condizioni

-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}\ \ \ \wedge  \ \ \ -1\le y\le 1

siamo in grado di esprimere y in funzione di x: è sufficiente applicare il seno ai due membri per ricavare la seguente uguaglianza

\sin(x)=\sin(\arcsin(y))

da cui

\sin(x)=y \ \ \ \mbox{con} \ -\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}\ \ \ \wedge \ \ \  -1\le y\le 1

Deduciamo quindi che l'equazione iniziale è ben posta per tutti i punti (x,y) che non appartengono alla porzione di grafico della funzione seno aventi per ascissa x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. In simboli matematici:

C.E.:\ (x,y)\in\mathbb{R}^2: \ y\ne\sin(x)\ \ \ \mbox{con} \ x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

Ora che conosciamo l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci dell'equazione

\frac{\sin(x)-y}{x-\arcsin(y)}=0

Moltiplichiamo i due membri per x-\arcsin(y) così da ricondurci all'equazione equivalente

\sin(x)-y=0

da cui

y=\sin(x)

I punti che soddisfano l'equazione sono della forma

(x,y)=(x,\sin(x)) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

sono cioè i punti che costituiscono il grafico della funzione seno. Attenzione! Dobbiamo escludere i punti che non rispettano la condizione di esistenza, vale a dire tutti i punti del grafico con ascissa x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. La rappresentazione grafica associata all'equazione è quindi la seguente:

Esercizi equazioni in due incognite XXII

Abbiamo finito!
Ringraziano: irene21, BleakHeart
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Os