Sistema di equazioni con termine xy

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Sistema di equazioni con termine xy #44702

avt
Manuel1990
Sfera
Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema di secondo grado. Ho svolto i calcoli, ho proceduto con la sostituzione, però la risolvente fornisce soluzioni differenti da quelle del libro.

Risolvere il seguente sistema di secondo grado

\begin{cases}x-y=3\\ \\ x^2-2xy+3y=11\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Fylax
 
 

Sistema di equazioni con termine xy #44751

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel determinare tutte e sole le coppie (x,y) che soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema

\begin{cases}x-y=3\\ \\ x^2-2xy+3y=11\end{cases}

Prima di procedere con la risoluzione, è opportuno sottolineare che la prima è un'equazione lineare in x\ \mbox{e} \ y, mentre la seconda è un'equazione polinomiale di secondo grado nelle incognite x\ \mbox{e} \ y, ecco perché il sistema è più propriamente detto di secondo grado.

Per determinare le soluzioni, esprimiamo x in termini di y nella prima equazione

\begin{cases}x=3+y\\ \\ x^2-2xy+3y=11\end{cases}

e sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda equazione

\begin{cases}x=3+y\\ \\ (3+y)^2-2(3+y)y+3y-11=0\end{cases}

Esprimiamo la seconda relazione in forma normale, eseguendo il quadrato di binomio, svolgendo il prodotto e sommando infine i monomi simili.

\begin{cases}x=3+y\\ \\ 9+6y+y^2-6y-2y^2+3y-11=0\end{cases} \ \ \ \to \  \ \ \begin{cases}x=3+y\\ \\ -y^2+3y-2=0\end{cases}

Occupiamoci dell'equazione di secondo grado

-y^2+3y-2=0

che, una volta cambiati i segni dei termini, si riscrive nella forma

y^2-3y+2=0

Essa è a conti fatti quella che prende il nome di risolvente associata al sistema e fornisce i valori che l'incognita y deve assumere. Indichiamo con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di y^2, quello di y e il termine noto

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-3 \ \ \ , \ \ \ c=2

e calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1

Poiché il Delta è positivo, l'equazione in y ammette due soluzioni reali e distinte che possiamo determinare con la relazione:

\\ y_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 1}{2}= \\ \\ \\ =\begin{cases}\frac{3-1}{2}=1=y_{1}\\ \\ \frac{3+1}{2}=2=y_{2}\end{cases}

Determinati i valori che deve assumere y, occorre utilizzare l'uguaglianza

x=3+y

per ricavare i corrispettivi valori di x. Più esplicitamente:

- se y=1, il corrispettivo valore di x è x=3+1=4, per cui

(x,y)=(4,1)

è una soluzione del sistema dato;

- se y=2, il corrispettivo valore di x è x=3+2=5, per cui

(x,y)=(5,2)

è una coppia soluzione del sistema dato.

In definitiva, le coppie che soddisfano il sistema di secondo grado

\begin{cases}x-y=3\\ \\ x^2-2xy+3y=11\end{cases}

sono

(x,y)=(4,1) \ \ \ , \ \ \ (x,y)=(5,2)

Ecco fatto!
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Os