Esercizio equazione logaritmica in base 2 con radicali

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Esercizio equazione logaritmica in base 2 con radicali #44494

avt
|complicato|
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione logaritmica in cui compare una radice quadrata. Il testo suggerisce di utilizzare una sostituzione, ma quale? Aiuto!

Avvalendosi di un'opportuna sostituzione, risolvere la seguente equazione logaritmica

\log_{2}^2(x^2)+4\log_{2}(\sqrt{x})-2=0

Grazie.
 
 

Esercizio equazione logaritmica in base 2 con radicali #44598

avt
Ifrit
Amministratore
Per ricavare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione logaritmica

\log_{2}^2(x^2)+4\log_{2}(\sqrt{x})-2=0

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: in questo caso particolare, sarà necessario che gli argomenti dei logaritmi siano contemporaneamente maggiori di zero.

Affinché \log_{2}^2(x^2) esista, imporremo che x^2>0, mentre per garantire l'esistenza di \log_{2}(\sqrt{x}) sarà necessario che \sqrt{x}>0.

Attenzione! Per fare in modo che le condizioni siano vere contemporaneamente, dobbiamo impostare e risolvere il sistema di disequazioni

\begin{cases}x^2>0\\ \\ \sqrt{x}>0\end{cases}

La prima disequazione

x^2>0

è soddisfatta per ogni x\ne 0, perché un quadrato è sempre positivo se e solo se la sua base è non nulla. Per quanto concerne la disequazione irrazionale

\sqrt{x}>0

essa è soddisfatta nel momento in cui il radicando è positivo, ossia se x>0. Il sistema dato è quindi equivalente al seguente

\begin{cases}x\ne 0\\ \\x>0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ x>0

L'insieme di esistenza delle soluzioni è quindi determinato dalla condizione

C.E.:\ x>0

Dedichiamoci finalmente ai passaggi algebrici: ci avvarremo delle proprietà dei logaritmi per poter semplificare la forma dell'equazione, cominciando dal termine \log_{2}^{2}(x^2). In virtù della proprietà

\log_{a}(A^B)=B\log_{a}(A)\ \ \ \mbox{con}\  A>0

il termine \log_{2}(x^2) obbedisce all'uguaglianza

\log_{2}(x^2)=2\log_{2}(x)\ \ \ \mbox{con} \ x>0

pertanto elevando al quadrato i due membri ricaviamo

\log_{2}^{2}(x^2)=4\log_{2}^2(x)

Per poter semplificare il termine logaritmico \log_{2}(\sqrt{x}) esprimiamo prima di tutto la radice quadrata sotto forma di potenza con esponente fratto, ossia \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}.

\log_{2}(\sqrt{x})=\log_{2}(x^{\frac{1}{2}})

Riutilizzando la proprietà sul logaritmo di una potenza, otteniamo infine

\log_{2}(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log_2(x)\ \ \ \mbox{con} \ x>0

Con le informazioni in nostro possesso, siamo autorizzati a rivedere l'equazione di partenza come segue:

\\ 4\log_{2}^2(x)+4\cdot\frac{1}{2}\log_2(x)-2=0\\ \\ \\ 4\log_{2}^{2}(x)+2\log_2(x)-2=0

Ora dovrebbe essere evidente qual è la sostituzione da effettuare! Ponendo

t=\log_{2}(x)\ \ \ \to \ \ \ t^2=\log_{2}^{2}(x)

di conseguenza

4\log_{2}^{2}(x)+2\log_2(x)-2=0

diventa

4t^2+2t-2=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado nell'incognita t che possiamo risolvere con la formula del delta quarti.

Posto

a=4 \ \ \ ,\ \ \ b=2 \ \ \ ,\ \ \ c=-2

calcoliamo il delta quarti con la formula

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=1-4\cdot (-2)=1+8=9

mentre le soluzioni sono date dalla relazione

\\ t_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{4}=\\ \\ \\ =\frac{-1\pm 3}{4}=\begin{cases}\frac{-1-3}{4}=-1=t_1 \\ \\ \frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}=t_2\end{cases}

da cui deduciamo che l'equazione in t ammette due soluzioni

t=-1\ \ \ , \ \ \ t=\frac{1}{2}

Non ci resta che ripristinare l'incognita x: poiché t=\log_{2}(x) allora la relazione

t=-1

si tramuta nell'equazione logaritmica elementare

\log_{2}(x)=-1\ \ \ \to \ \ \ x=2^{-1}=\frac{1}{2}

mentre t=\frac{1}{2} diventa semplicemente

\log_{2}(x)=\frac{1}{2} \ \ \ \to \ \ \ x=2^{\frac{1}{2}} \ \ \ \to \ \ \ x=\sqrt{2}

Osserviamo che entrambi i valori soddisfano le condizioni di esistenza, di conseguenza sono soluzioni dell'equazione di partenza. In definitiva, l'insieme delle soluzioni associato all'equazione

\log_{2}^2(x^2)+4\log_{2}(\sqrt{x})-2=0

è

S=\left\{\frac{1}{2},\sqrt{2}\right\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco
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Os