Equazione esponenziale con esponenti fratti

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#44467
avt
irene21
Cerchio

Non so svolgere un esercizio in cui mi viene chiesto di calcolare le soluzioni di un'equazione esponenziale a esponenti fratti. Non capisco come sbarazzarmi della funzione esponenziale in base 2. Aiuto.

Determinare le soluzioni della seguente equazione esponenziale

2^((x−1)/(x^2−3x))−2^(−(1)/(x−3)) = 0

Grazie.

Ringraziano: Pi Greco
#44645
avt
frank094
Sfera

Per poter calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

2^((x−1)/(x^2−3x))−2^(−(1)/(x−3)) = 0

bisogna prima di tutto imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che siano diversi da zero tutti i denominatori con l'incognita.

Consideriamo quindi le seguenti relazioni

x^2−3x ne 0 ∧ x−3 ne 0

e analizziamole singolarmente partendo dalla prima:

x^2−3x ne 0

può essere analizzata raccogliendo totalmente x e usando in seguito la legge di annullamento del prodotto

x(x−3) ne 0 → x ne 0 ∧ (x−3) ne 0

da cui

x ne 0 ∧ x ne 3

Dalla seconda relazione ricaviamo la condizione x ne 3

x−3 ne 0 → x ne 3

Possiamo affermare pertanto che l'insieme di esistenza delle soluzioni è definito dalle condizioni

C.E. : x ne 0 ∧ x ne 3

Una volta stabilito qual è l'insieme dei valori che possono essere soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici. Obiettivo: esprimere l'equazione in forma normale!

2^((x−1)/(x^2−3x))−2^(−(1)/(x−3)) = 0

Isoliamo una delle funzioni esponenziali al primo membro

2^((x−1)/(x^2−3x)) = 2^(−(1)/(x−3))

Poiché entrambe hanno la medesima base, possiamo tranquillamente eguagliare gli esponenti, riconducendoci all'equazione fratta

(x−1)/(x^2−3x) = −(1)/(x−3)

A questo punto, i passaggi sono pressoché obbligati: bisogna trasportare tutto al primo membro e sommare tra loro le frazioni algebriche.

(x−1)/(x^2−3x)+(1)/(x−3) = 0

Scomponiamo il polinomio x^2−3x

(x−1)/(x(x−3))+(1)/(x−3) = 0

e portiamo a denominatore comune

(x−1+x)/(x(x−3)) = 0 → (2x−1)/(x(x−3)) = 0

Moltiplichiamo i due membri per x(x−3) e risolviamo l'equazione di primo grado

2x−1 = 0 → x = (1)/(2)

Il valore ottenuto rispetta le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni, pertanto è soluzione dell'equazione data.

Concludiamo che l'equazione

2^((x−1)/(x^2−3x))−2^(−(1)/(x−3)) = 0

è soddisfatta per x = (1)/(2).

Abbiamo finito.

Ringraziano: Pi Greco, irene21
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