Equazione esponenziale con esponenti fratti
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#44467

irene21
Cerchio
#44645

frank094
Sfera
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Non so svolgere un esercizio in cui mi viene chiesto di calcolare le soluzioni di un'equazione esponenziale a esponenti fratti. Non capisco come sbarazzarmi della funzione esponenziale in base 2. Aiuto.
Determinare le soluzioni della seguente equazione esponenziale
Grazie.
Per poter calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale
bisogna prima di tutto imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che siano diversi da zero tutti i denominatori con l'incognita.
Consideriamo quindi le seguenti relazioni
e analizziamole singolarmente partendo dalla prima:
può essere analizzata raccogliendo totalmente e usando in seguito la legge di annullamento del prodotto
da cui
Dalla seconda relazione ricaviamo la condizione
Possiamo affermare pertanto che l'insieme di esistenza delle soluzioni è definito dalle condizioni
Una volta stabilito qual è l'insieme dei valori che possono essere soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici. Obiettivo: esprimere l'equazione in forma normale!
Isoliamo una delle funzioni esponenziali al primo membro
Poiché entrambe hanno la medesima base, possiamo tranquillamente eguagliare gli esponenti, riconducendoci all'equazione fratta
A questo punto, i passaggi sono pressoché obbligati: bisogna trasportare tutto al primo membro e sommare tra loro le frazioni algebriche.
Scomponiamo il polinomio
e portiamo a denominatore comune
Moltiplichiamo i due membri per e risolviamo l'equazione di primo grado
Il valore ottenuto rispetta le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni, pertanto è soluzione dell'equazione data.
Concludiamo che l'equazione
è soddisfatta per .
Abbiamo finito.
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