Due disequazioni irrazionali con indice pari

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Due disequazioni irrazionali con indice pari #4423

avt
Angela
Cerchio
Buonasera, non riesco a svolgere queste due disequazioni irrazionali con radici di indice pari. Le tracce sono:

\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}\geq 0

5-\frac{\sqrt{x^2-x-2}}{x}+1\geq 0

Grazie mille, qualsiasi aiuto è ben accetto! emt
 
 

Due disequazioni irrazionali con indice pari #4436

avt
Omega
Amministratore
Ciao Angela!

Per risolvere la prima disequazione

\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}\geq 0

è sufficiente elevare al quadrato entrambi i membri per eliminare la radice quadrata

\frac{x-2}{x-1}\geq 0

Questa è una semplicissima disequazione fratta, e basta studiare il segno di numeratore e denominatore separatamente

NUMERATORE: x\geq 2

DENOMINATORE: x> 1

Confrontando i segni di numeratore e denominatore nel grafico di disequazione, si trova che la frazione è positiva per x<1 \vee x\geq 2.

Per quanto riguarda le condizioni di esistenza, bisogna richiedere che l'argomento della radice sia maggiore o uguale a zero, e la disequazione che ne risulta coincide con quella appena risolta.


Seconda disequazione

5-\frac{\sqrt{x^2-x-2}}{x}+1\geq 0

Prima di tutto le condizioni di esistenza:

x^2-x-2\geq 0\ \to\ x\leq -1\vee x\geq 2

non dimentichiamocene.

Riscriviamo la disequazione come

\frac{\sqrt{x^2-x-2}}{x}-6\leq 0

cioè

\frac{\sqrt{x^2-x-2}-6x}{x}\leq 0

Ora non resta che studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore, entrambi posti separatamente maggiori-uguali a zero

NUMERATORE: \sqrt{x^2-x-2}\geq 6x

Questa disequazione irrazionale coincide con due sistemi di disequazioni, di cui alla fine bisogna unire le soluzioni:

PRIMO SISTEMA

\begin{cases}x^2-x-2\geq 0\\ 6x<0\end{cases}

che hanno soluzioni

\begin{cases}x\leq -1\vee x\geq 2\\ x<0\end{cases}

quindi la soluzione del sistema è x\leq-1.

SECONDO SISTEMA

\begin{cases}x^2-x-2\geq 0\\ 6x\geq 0\\ x^2-x-2\geq 36x^2\end{cases}

Tra queste tre disequazioni, la terza è impossibile, quindi il sistema è impossibile! L'unione degli insiemi delle soluzioni dei due sistemi è quindi x\leq -1.

DENOMINATORE

Semplicemente x> 0.

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Ora passando al grafico della disequazione, confrontando i segni di numeratore e denominatore (grafico con linee piene per i + e linee tratteggiate per i - ) dobbiamo cercare le x che rendono la frazione negativa. Tenendo presenti le condizioni di esistenza troviamo come soluzioni

x\leq -1\vee x\geq 2

tenendo conto delle condizioni di esistenza della radice.


Se vuoi ripassare o studiare il metodo di risoluzione delle disequazioni irrazionali, dai un'occhiata alla guida del link! emt
Ringraziano: frank094, Angela
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Os