Sistema di equazioni di grado misto

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Sistema di equazioni di grado misto #44176

avt
Lorenzomag1980
Punto
Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema di equazioni e in due incognite: la prima equazione è di secondo grado, mentre la seconda è di primo.

Determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema di equazioni:

\begin{cases}x^2-y^2=-32\\ \\ x+3y-16=0\end{cases}

Grazie mille.
 
 

Re: Sistema di equazioni di grado misto #44179

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo il sistema di equazioni

\begin{cases}x^2-y^2=-32\\ \\ x+3y=16\end{cases}

L'esercizio ci chiede di determinare le sue soluzioni, ossia tutte e sole le coppie (x,y) che soddisfano entrambe le equazioni.

Per raggiungere il nostro obiettivo, procederemo con il metodo di sostituzione: nella seconda equazione esprimiamo x in termini di y

\begin{cases}x^2-y^2=-32\\ \\ x=16-3y\end{cases}

dopodiché riportiamo 16-3y al posto dell'incognita x nella prima equazione.

\begin{cases}(16-3y)^2-y^2=-32\\ \\ x=16-3y\end{cases}

Sviluppiamo il quadrato di binomio (16-3y)^2 e sommiamo tra loro i monomi simili

\begin{cases}256-96y+9y^2-y^2=-32\\ \\ x=16-3y\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}8y^2-96y+288=0 \\ \\ x=16-3y\end{cases}

La prima relazione del sistema è a conti fatti un'equazione di secondo grado nell'incognita y che può essere semplificata dividendo i due membri per 8

\begin{cases}y^2-12y+36=0 \\ \\ x=16-3y\end{cases}

Notiamo che il polinomio y^2-12y+36 è in realtà lo sviluppo del quadrato di y-6, per cui la prima equazione diventa:

\begin{cases}(y-6)^2=0 \\ \\ x=16-3y\end{cases}

Tenendo a mente che un quadrato è zero se e solo se la sua base è zero, il sistema dato ha le stesse soluzioni del seguente

\begin{cases}y-6=0 \\ \\ x=16-3y\end{cases}

Dalla prima relazione ricaviamo immediatamente che y=6: non ci resta che rimpiazzare tale valore al posto di y nella seconda equazione per ottenere x

\begin{cases}y=6 \\ \\ x=16-3y \ \ \ \to \ \ \ x=16-3\cdot 6=-2\end{cases}

Possiamo concludere che il sistema è soddisfatto esclusivamente dalla coppia

(x,y)=(-2,6)

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Lorenzomag1980
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Os