Equazione mista (trigonometrica e logaritmica) con il metodo grafico

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Equazione mista (trigonometrica e logaritmica) con il metodo grafico #44025

avt
Marcoxt92
Banned
Mi è capitata un'equazione con logaritmo, seno e coseno che dovrei risolvere utilizzando il metodo grafico. Sebbene io conosca la teoria, non riesco a tracciare i grafici per ricavare gli eventuali punti di intersezione e quindi le possibili soluzioni approssimate. Come devo procedere?

Sfruttare il metodo grafico per risolvere la seguente equazione trascendente

\ln(1+\sin^2(x))-1=-\cos^2(x)

Grazie.
Ringraziano: Omega, Galois, Frances33
 
 

Equazione mista (trigonometrica e logaritmica) con il metodo grafico #44046

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nel ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione

\ln(1+\sin^2(x))-1=-\cos^2(x)

la quale non può essere ricondotta a nessuna tipologia elementare: la relazione è infatti troppo complicata e contiene logaritmi, seni e coseni ed è classificabile come un'equazione trascendente mista.

L'esercizio suggerisce di procedere con il metodo grafico che consiste nell'esprimere l'equazione nella forma

f(x)=g(x)

dove f(x)\ \mbox{e} \ g(x) sono due funzioni di cui è facile tracciare il grafico. Una volta disegnate le curve nel medesimo piano cartesiano, individuiamo gli eventuali punti di intersezione, le cui ascisse rappresentano le soluzioni dell'equazione data.

Chiaramente, non siamo macchine dunque non potremo tracciare un grafico che sia così preciso da fornire i valori esatti delle soluzioni, ecco perché ci accontenteremo delle loro approssimazioni.

Chiarito ciò, approcciamoci all'esercizio iniziando dall'insieme di esistenza delle soluzioni: dobbiamo imporre le condizioni di esistenza del logaritmo, il quale richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero. Tale condizione si traduce nella disequazione goniometrica

1+\sin^2(x)> 0\ \ \ \to \ \ \ \sin^2(x)>-1

Poiché seno al quadrato è positivo o al più nullo, esso sarà certamente maggiore di -1, di conseguenza la disequazione è verificata per ogni x\in\mathbb{R}, dunque l'equazione è sempre ben posta.

Sebbene la strategia di utilizzare il metodo grafico sia vincente, l'equazione presenta delle difficoltà intrinseche, dettate dalle elaborate espressioni che compongono i due membri: tentiamo di semplificare sfruttando a nostro vantaggio qualche proprietà.

Per prima cosa trasportiamo al secondo membro -1

\ln(1+\sin^2(x))=1-\cos^2(x)

dopodiché utilizziamo la relazione fondamentale della trigonometrica, mediante la quale l'equazione diventa

\ln(1+\sin^2(x))=\sin^2(x)

Potremmo pensare di procedere con il metodo grafico considerando le funzioni

\\ f(x)=\ln(1+\sin^2(x)) \\ \\ g(x)=\sin^2(x)

però la prima non è immediatamente rappresentabile e richiederebbe un veloce studio di funzione, che fortunatamente può essere aggirato operando la sostituzione

t=\sin^2(x)

con cui l'equazione diventa

\ln(1+t)=t

Consideriamo quindi le funzioni

y=\ln(1+t)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=t

e tentiamo di tracciare i loro grafici sullo stesso piano cartesiano Oty. Il grafico di y=\ln(1+t) si ricava traslando verso sinistra di una unità quello di y=\ln(t) che dovrebbe essere noto.

Il grafico di y=t coincide con la retta con coefficiente angolare m=1 e ordinata all'origine q=0: in altri termini y=t è l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante.

Rappresentate le due curve, ricaviamo il seguente grafico

Esercizi equazioni non risolvibili algebricamente VIII

Le due curve si incontrano nel punto A(t_A, y_A)=(0,0) la cui ascissa t_A=0 soddisfa l'equazione in t. Se infatti t=0, l'equazione

\ln(1+t)=t

diventa

\ln(1+0)=0 \ \ \ \to \ \ \ 0=0

A questo punto non ci resta che ripristinare l'incognita x: poiché t=\sin^2(x), la relazione t=0 si traduce nell'equazione goniometrica

\sin^2(x)=0\ \ \ \to \ \ \ \sin(x)=0

soddisfatta per x=k\pi dove k è un numero intero.

In definitiva, l'equazione

\ln(1+\sin^2(x))-1=-\cos^2(x)

è soddisfatta per

x=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Marcoxt92, Galois, Ludacris
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Os