Sistema con equazione lineare ed equazione con xy

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Sistema con equazione lineare ed equazione con xy #43668

avt
sandruccia
Sfera
Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema non lineare. Secondo la mia insegnante, dovrei rifarmi alla teoria dei sistemi simmetrici, che però non conosco. Potreste spiegarmela usando il seguente esercizio come esempio guida?

Determinare tutte le coppie ordinate (x,y) che soddisfano il seguente sistema di equazioni

\begin{cases}x+y=8\\ \\ x y=12\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Sistema con equazione lineare ed equazione con xy #43669

avt
Pi Greco
Kraken
Consideriamo il sistema di equazioni

\begin{cases}x+y=8\\ \\ x y=12\end{cases}

Il nostro obiettivo prevede di determinare tutte le coppie ordinate (x,y) le cui coordinate soddisfano contemporaneamente le due equazioni.

In questa circostanza, potremmo tranquillamente ricavare le soluzioni usando il metodo di sostituzione: dall'equazione lineare potremmo esprimere x in termini di y e riportare l'espressione nella seconda equazione così da ricavare la risolvente associata del sistema.

Esiste però un'altra strategia che può essere applicata ogniqualvolta che ci troviamo di fronte a un sistema simmetrico elementare, ossia un sistema nella forma:

\begin{cases}x+y=s\\ \\ x y=p\end{cases}

Osservazione: un sistema simmetrico è un sistema che rimane invariato se si scambiano tra loro i ruoli di x\ \mbox{e} \ y ed è caratterizzato dal fatto che (x,y)=(a,b) è una coppia soluzione se e solo se (x,y)=(b,a) è soluzione.

Il secondo membro della prima equazione rappresenta la somma delle due incognite x\ \mbox{e} \ y, mentre il secondo membro della seconda equazione è il prodotto tra le incognite. In accordo con la teoria delle equazioni di secondo grado, x\ \mbox{e} \ y formano una coppia soluzione del sistema se e solo se soddisfano la seguente equazione

t^2-s t+p=0

In questo caso, s=8\ \mbox{e} \ p=12 per cui l'equazione risolvente diventa

t^2-8 t+12=0

Poiché il coefficiente di t è un numero pari, risolviamola con la formula ridotta: indichiamo con a, \ b \ \mbox{e} \ c il coefficiente di t^2, quello di t e il termine noto

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-8 \ \ \ , \ \ \ c=12

e calcoliamo il delta quarti con la relazione:

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(-\frac{8}{2}\right)^2-1\cdot 12=4

Poiché il discriminante ridotto è positivo, l'equazione in t ammette due soluzioni reali e distinte:

\\ t_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=-\frac{-8}{2}\pm\sqrt{4}=\\ \\ \\ =4\pm 2=\begin{cases}4-2=2=t_1\\ \\ 4+2=6=t_2\end{cases}

Con i valori ottenuti possiamo costruire due coppie simmetriche che soddisfano il sistema dato:

(x,y)=(t_1,t_2)=(2,6)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ (x,y)=(t_2,t_1)=(6,2)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega
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Os