Esercizio sistema con due equazioni di grado 2

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Esercizio sistema con due equazioni di grado 2 #43576

avt
Antonio87
Banned
In un esercizio mi viene chiesto di risolvere un sistema di equazioni che non sono in grado di risolvere: sembra essere un sistema di secondo grado ma ogni strategia risolutiva che conosco rende i conti impossibili da portare a termine. Potreste aiutarmi?

Calcolare le eventuali soluzioni del seguente sistema di equazioni in due incognite

y^2-3xy = 0 ; (x+y)^2-4(1+x y) = 0

Grazie.
 
 

Esercizio sistema con due equazioni di grado 2 #43577

avt
Pi Greco
Kraken
L'esercizio ci chiede di risolvere il sistema di equazioni

y^2-3xy = 0 ; (x+y)^2-4(1+x y) = 0

Per ricavare le possibili coppie (x,y) che soddisfano il sistema occorre scomporre il polinomio y^2-3xy usando la tecnica del raccoglimento totale: se raccogliamo y, la prima relazione del sistema diventa

y(y-3x) = 0

che grazie alla legge di annullamento del prodotto si spezza nelle due equazioni:

y = 0 ∨ y-3x = 0

dove ∨ è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "o".

Alla luce di queste considerazioni, il sistema

y^2-3xy = 0 ; (x+y)^2-4(1+x y) = 0

diventa

y = 0 ∨ y-3x = 0 ; (x+y)^2-4(1+x y) = 0

Se y = 0, la relazione

(x+y)^2-4(1+x y) = 0

si traduce nell'equazione di secondo grado in x

x^2-4 = 0 → x = -2 ∨ x = 2

per cui (x,y) = (-2, 0) e (x,y) = (2,0) sono le prime due coppie del sistema.

Se y-3x = 0, vale a dire se y = 3x, la relazione

(x+y)^2-4(1+x y) = 0

diventa

(x+3x)^2-4(1+x·(3x)) = 0 → 4x^2-4 = 0

Calcoliamo le soluzioni dell'equazione pura che rappresentano le (eventuali) ascisse delle coppie soluzione:

4x^2-4 = 0 → x^2 = 1 → x = -1 ∨ x = 1

A ciascuna dei valori di x dobbiamo associare le corrispettive y: basta sostituire -1 e 1 a x nella relazione y = 3x. Più precisamente:

- a x = -1 associamo y = 3·(-1) = -3, di conseguenza (x,y) = (-1,-3) è una soluzione del sistema;

- a x = 1 associamo y = 3·1 = 3, pertanto (x,y) = (1,3) è un'altra soluzione del sistema.

In definitiva il sistema di secondo grado

y^2-3xy = 0 ; (x+y)^2-4(1+x y) = 0

è soddisfatto dalle seguenti coppie

(x,y) = (-2,0) , (x,y) = (2,0) ; (x,y) = (-1,-3) , (x,y) = (1,3)

È fatta!
Ringraziano: Marcoxt92, Antonio87
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Os