Esercizio sistema con due equazioni di grado 2

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Esercizio sistema con due equazioni di grado 2 #43576

avt
Antonio87
Banned
In un esercizio mi viene chiesto di risolvere un sistema di equazioni che non sono in grado di risolvere: sembra essere un sistema di secondo grado ma ogni strategia risolutiva che conosco rende i conti impossibili da portare a termine. Potreste aiutarmi?

Calcolare le eventuali soluzioni del seguente sistema di equazioni in due incognite

\begin{cases}y^2-3xy=0 \\ \\ (x+y)^2-4(1+x y)=0\end{cases}

Grazie.
 
 

Esercizio sistema con due equazioni di grado 2 #43577

avt
Pi Greco
Kraken
L'esercizio ci chiede di risolvere il sistema di equazioni

\begin{cases}y^2-3xy=0 \\ \\ (x+y)^2-4(1+x y)=0\end{cases}

Per ricavare le possibili coppie (x,y) che soddisfano il sistema occorre scomporre il polinomio y^2-3xy usando la tecnica del raccoglimento totale: se raccogliamo y, la prima relazione del sistema diventa

y(y-3x)=0

che grazie alla legge di annullamento del prodotto si spezza nelle due equazioni:

y=0 \ \ \ \vee \ \ \ y-3x=0

dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "o".

Alla luce di queste considerazioni, il sistema

\begin{cases}y^2-3xy=0 \\ \\ (x+y)^2-4(1+x y)=0\end{cases}

diventa

\begin{cases}y=0 \ \ \ \vee \ \ \  y-3x=0\\ \\ (x+y)^2-4(1+x y)=0\end{cases}

Se y=0, la relazione

(x+y)^2-4(1+x y)=0

si traduce nell'equazione di secondo grado in x

x^2-4=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-2 \ \ \ \vee \ \ \ x=2

per cui (x,y)=(-2, 0) \ \mbox{e}  \ (x,y)=(2,0) sono le prime due coppie del sistema.

Se y-3x=0, vale a dire se y=3x, la relazione

(x+y)^2-4(1+x y)=0

diventa

(x+3x)^2-4(1+x\cdot(3x))=0 \ \ \ \to \ \ \ 4x^2-4=0

Calcoliamo le soluzioni dell'equazione pura che rappresentano le (eventuali) ascisse delle coppie soluzione:

4x^2-4=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2=1 \ \ \ \to \ \ \ x=-1 \ \ \vee \ \ x=1

A ciascuna dei valori di x dobbiamo associare le corrispettive y: basta sostituire -1 \ \mbox{e} \ 1 a x nella relazione y=3x. Più precisamente:

- a x=-1 associamo y=3\cdot (-1)=-3, di conseguenza (x,y)=(-1,-3) è una soluzione del sistema;

- a x=1 associamo y=3\cdot 1=3, pertanto (x,y)=(1,3) è un'altra soluzione del sistema.

In definitiva il sistema di secondo grado

\begin{cases}y^2-3xy=0 \\ \\ (x+y)^2-4(1+x y)=0\end{cases}

è soddisfatto dalle seguenti coppie

\\ (x,y)=(-2,0) \ \ \ , \ \ \ (x,y)=(2,0) \\ \\ (x,y)=(-1,-3) \ \ \ , \ \ \ (x,y)=(1,3)

È fatta!
Ringraziano: Marcoxt92, Antonio87
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Os