Equazione goniometrica di secondo grado omogenea

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Equazione goniometrica di secondo grado omogenea #43562

avt
FAQ
Frattale
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica di secondo grado omogenea. Il mio professore ha spiegato il metodo generale, però non riesco ad applicarlo a dovere.

Determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica di secondo grado omogenea

\sin^2(x)-\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)=0

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, Manila, Ifrit, marcorox, Sandrone_10, Hesse, Galois, CarFaby, Iusbe
 
 

Equazione goniometrica di secondo grado omogenea #43580

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo

\sin^2(x)-\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)=0

Essa è un'equazione di secondo grado in seno e coseno che possiamo risolvere raccogliendo il fattore comune \sin(x)

\sin(x)[\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)]=0

e sfruttando in seguito la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è zero nel momento in cui sussiste almeno una delle relazioni

\\ \sin(x)=0 \\ \\ \sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=0

La prima è un'equazione goniometrica elementare

\sin(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

La seconda, ossia

\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=0

è un'equazione lineare in seno e coseno. Per risolverla possiamo isolare il seno al primo membro

\sin(x)=\sqrt{3}\cos(x)

dopodiché osserviamo che dall'identità fondamentale della goniometria segue che se \cos(x)=0 allora

\sin(x)=1\ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ \sin(x)=-1

pertanto i valori che annullano il coseno non sono soluzioni dell'equazione data. Per \cos(x)\ne 0, siamo autorizzati a dividere i due membri per tale quantità

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\sqrt{3}

e grazie alla definizione di tangente ci riconduciamo all'equazione goniometrica elementare

\tan(x)=\sqrt{3}

In base ai valori notevoli della tangente e alla sua periodicità, siamo in grado di concludere che tale equazione è soddisfatta per

x=\frac{\pi}{3}+k\pi \ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

Riassumendo, l'equazione

\sin^2(x)-\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)=0

è soddisfatta dai seguenti valori

x=k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi

dove k è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, CharlieMetal
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