Disequazione di quarto grado x^4+2>=0

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Disequazione di quarto grado x^4+2>=0 #43359

avt
Baldur
Punto
Ciao, mi spiegate come risolvere una disequazione di quarto grado? La disequazione è questa:

x^4+2\geq 0

Come posso risolverla? Non riesco a trovare un metodo... grazie!

PS: ma per le formule matematica, che tipo di linguaggio usa questo forum?
 
 

Disequazione di quarto grado x^4+2>=0 #43373

avt
ilaila
Punto
Poiché x^{4}\geq 0 perchè è una potenza con esponente pari, allora

x^{4}+2 \geq 0 \ \forall x \in \mathbb{R}
Ringraziano: Pi Greco

Disequazione di quarto grado x^4+2>=0 #43383

avt
Baldur
Punto
E se avesse avuto esponente dispari? Non si poteva dire che sarebbe stato sicuramente positivo?

Disequazione di quarto grado x^4+2>=0 #43405

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti,

le disequazioni della forma x^n+c\geq 0 con n pari e c>0 hanno come insieme delle soluzioni \mathbb{R}.

Questo perché la somma di un termine non negativo (x^n) con un termine positivo (c) è una quantità certamente positiva.

Se invece la disequazione è della forma x^n+c\geq 0 ha esponente dispari, tutte e sole le soluzioni sono date da x\geq \sqrt[n]{-c}.

Ciò è dovuto al fatto che le potenze ad indice dispari preservano il segno della base.

PS: usiamo il LaTeX.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Re: Disequazione di quarto grado x^4+2>=0 #43493

avt
Baldur
Punto
Grazie. Il segno meno semmai andrebbe fuori radice, però!

Re: Disequazione di quarto grado x^4+2>=0 #43506

avt
ilaila
Punto
È indifferente perché le potenze a esponente dispari sono funzioni dispari, cioè tali che

f\left(-x\right) = -f\left(x\right)\ \ \forall x \in dom\left(f\right)
Ringraziano: Omega

Re: Disequazione di quarto grado x^4+2>=0 #43534

avt
Baldur
Punto
In un altro esercizio, mi è venuto che

x^4-2\geq 0

come ci si comporta in questo caso?

Re: Disequazione di quarto grado x^4+2>=0 #43603

avt
Omega
Amministratore
Quest'ultimo caso non rientra tra quelli visti in precedenza, perché abbiamo un segno meno.

x^4-2\geq 0

Qui puoi procedere per sostituzione: poni y=x^2 e risolvi

y^2-2\geq 0

come una normale disequazione di secondo grado.

Ottieni

y\leq -\sqrt{2}\vee y\geq +\sqrt{2}

ossia

x^2\leq -\sqrt{2}\vee x^2\geq +\sqrt{2}

La prima disequazione la puoi scartare per i motivi visti nei messaggi precedenti. Rimane solo la seconda

x^2\geq +\sqrt{2}

che puoi risolvere serenamente come disequazione di secondo grado

x\leq -\sqrt[4]{2}\ \vee\ x\geq \sqrt[4]{2}
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Os