Quadrato di trinomio con esponenti letterali

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Quadrato di trinomio con esponenti letterali #42993

avt
errev
Punto
Non ho proprio idea di come si sviluppa il quadrato di un trinomio a esponenti letterali: so che devo utilizzare il prodotto notevole omonimo e le proprietà delle potenze. Potreste aiutarmi?

Scrivere lo sviluppo del seguente quadrato di trinomio a esponenti letterali.

\left(1-x^{n}-y^{n}\right)^2 \ \ \ \mbox{con} \ n\in\mathbb{N}-\{0\}

Grazie mille.
 
 

Quadrato di trinomio con esponenti letterali #43001

avt
Ifrit
Amministratore
Per sviluppare il quadrato di trinomio

\left(1-x^{n}-y^{n}\right)^2 \ \ \ \mbox{con} \ n\in\mathbb{N}-\{0\}

possiamo usare in tutta tranquillità il prodotto notevole

(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

in combinazione con le proprietà delle potenze.

In questa circostanza, il trinomio base è composto da tre termini

A=1 \ \ \ , \ \ \ B=-x^{n} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C=-y^{n}

che, sostituiti nel prodotto notevole, ci permettono di scrivere la seguente relazione:

\\ (1+(-x^{n})+(-y^{n}))^2= \\ \\ =1^2+(-x^{n})^2+(-y^{n})^2+2\cdot 1\cdot (-x^{n})+2\cdot 1\cdot (-y^{n})+2\cdot (-x^{n})\cdot (-y^{n})=

Proponiamoci l'obiettivo di semplificare l'espressione: svolgiamo prima di tutto le potenze di potenze

=1+x^{2n}+y^{2n}+2\cdot 1\cdot (-x^{n})+2\cdot 1\cdot (-y^{n})+2\cdot (-x^{n})\cdot (-y^{n})=

dopodiché sfruttiamo la regola dei segni per attribuire il segno corretto ai vari prodotti.

=1+x^{2n}+y^{2n}-2x^{n}-2y^{n}+2x^{n}y^{n}

In conclusione, lo sviluppo del quadrato di trinomio iniziale è:

\\ \left(1-x^{n}-y^{n}\right)^2=\\ \\ =1+x^{2n}+y^{2n}-2x^{n}-2y^{n}+2x^{n}y^{n}

al variare di n nell'insieme dei numeri naturali (escluso zero).
Ringraziano: Omega
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Os