Quadrato di trinomio con esponenti letterali

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#42993
avt
errev
Punto
Non ho proprio idea di come si sviluppa il quadrato di un trinomio a esponenti letterali: so che devo utilizzare il prodotto notevole omonimo e le proprietà delle potenze. Potreste aiutarmi?

Scrivere lo sviluppo del seguente quadrato di trinomio a esponenti letterali.

(1-x^(n)-y^(n))^2 con n∈N-0

Grazie mille.
#43001
avt
Ifrit
Amministratore
Per sviluppare il quadrato di trinomio

(1-x^(n)-y^(n))^2 con n∈N-0

possiamo usare in tutta tranquillità il prodotto notevole

(A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

in combinazione con le proprietà delle potenze.

In questa circostanza, il trinomio base è composto da tre termini

A = 1 , B = -x^(n) e C = -y^(n)

che, sostituiti nel prodotto notevole, ci permettono di scrivere la seguente relazione:

(1+(-x^(n))+(-y^(n)))^2 = 1^2+(-x^(n))^2+(-y^(n))^2+2·1·(-x^(n))+2·1·(-y^(n))+2·(-x^(n))·(-y^(n)) =

Proponiamoci l'obiettivo di semplificare l'espressione: svolgiamo prima di tutto le potenze di potenze

= 1+x^(2n)+y^(2n)+2·1·(-x^(n))+2·1·(-y^(n))+2·(-x^(n))·(-y^(n)) =

dopodiché sfruttiamo la regola dei segni per attribuire il segno corretto ai vari prodotti.

= 1+x^(2n)+y^(2n)-2x^(n)-2y^(n)+2x^(n)y^(n)

In conclusione, lo sviluppo del quadrato di trinomio iniziale è:

(1-x^(n)-y^(n))^2 = 1+x^(2n)+y^(2n)-2x^(n)-2y^(n)+2x^(n)y^(n)

al variare di n nell'insieme dei numeri naturali (escluso zero).
Ringraziano: Omega
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