Disequazione goniometrica inversa (con arcotangente)

Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere una disequazione con l'arcotangente. Sinceramente nessuno mi ha mai spiegato come si affrontano le disequazioni con le funzioni goniometriche inverse, ecco perché mi rivolgo a voi.

Risolvere la seguente disequazione



Grazie.

L'esercizio ci chiede di determinare l'insieme delle soluzioni associato alla disequazione



Prima di dedicarci ai calcoli, occorre però imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che il denominatore sia diverso da zero.



dove è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i calcoli.

Ricordiamo che l'arcotangente è per definizione la funzione inversa della tangente sull'intervallo , vale a dire:



dove .

Poiché nell'intervallo , la tangente è una funzione strettamente crescente, nel momento in cui la applichiamo ai membri della disequazione, non inverte il verso della disuguaglianza, pertanto da:



passiamo alla disequazione:



Tenendo a mente che tangente e arcotangente sono l'una l'inversa dell'altra, e che , al primo membro ritroviamo esclusivamente l'argomento dell'arcotangente, mentre al secondo



Siamo passati da una disequazione con una funzione goniometrica inversa a una semplicissima disequazione fratta!

Per risolverla trasportiamo al primo membro



dopodiché esprimiamo a denominatore comune



Ora che la disequazione è espressa in forma normale, studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore:



(Sono entrambi disequazioni di secondo grado pure.)

Dalla tabella dei segni, scopriamo che la disequazione è soddisfatta se e solo se



Abbiamo finito!