Scomposizione di una somma di cubi

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Scomposizione di una somma di cubi #42249

avt
drago
Cerchio
Non capisco come posso scomporre un binomio di terzo grado e nonostante abbia tentato diversi approcci, non sono riuscito a scomporlo. Potreste aiutarmi?

Esprimere il seguente polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore:

x^3+8y^3

Grazie mille.
 
 

Scomposizione di una somma di cubi #42300

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio

x^3+8y^3

e per portare a termine il nostro compito, possiamo fare affidamento alla regola che consente di fattorizzare la somma di due cubi:

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

In termini più espliciti, la somma di due cubi si esprimere come prodotto tra la somma delle loro basi per il trinomio composto dal quadrato della prima base, dal prodotto tra le due basi cambiato di segno e dal quadrato della seconda base.

Per poter applicare la regola di scomposizione, bisogna controllare che il polinomio dato sia effettivamente una somma di cubi (e lo è!) ed estrapolare le basi dei due cubi.

Il monomio x^3 è il cubo di x, mentre 8y^3 è il cubo di 2y, infatti le proprietà delle potenze garantiscono le seguenti uguaglianze:

(2y)^3=2^3y^3=8y^3

Deduciamo pertanto che le basi dei due cubi di x^3+8y^3 sono:

A=x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=2y

per cui scriviamo:

\\ x^3+8y^3=(x)^3+(2y)^3=(x+2y)(x^2-x\cdot 2 y + (2 y)^2)= \\ \\ =(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)

Si noti che il termine x^2-2xy+4y^2 è un falso quadrato irriducibile.

In conclusione, la scomposizione richiesta è:

x^3+8y^3=(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)

Ecco fatto.
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Os