Equazione razionale fratta in 2 incognite con polinomi di grado 2

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Equazione razionale fratta in 2 incognite con polinomi di grado 2 #42074

avt
Milly93
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione fratta in due incognite. La peculiarità dell'equazione risiede nel fatto che in qualche modo devo ricondurmi a un'equazione omogenea nelle incognite x\ \mbox{e} \ y, però poi mi blocco perché non riconosco il luogo geometrico associato: possibile che non sia notevole?

Risolvere l'equazione fratta in due incognite

\frac{2x^2-5x y+2y^2}{5-x^2-y^2}=0

rappresentando nel piano cartesiano il proprio insieme soluzione.

Grazie.
 
 

Equazione razionale fratta in 2 incognite con polinomi di grado 2 #42079

avt
Omega
Amministratore
Per poter rappresentare a dovere l'insieme soluzione associato all'equazione in due incognite

\frac{2x^2-5x y+2y^2}{5-x^2-y^2}=0

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza. Proprio perché le incognite compaiono a denominatore, dobbiamo richiedere che esso sia non nullo, cioè deve valere la relazione

C.E.:\ 5-x^2-y^2\ne 0

Essa è soddisfatta da tutti i punti del piano che non appartengono alla circonferenza di equazione

5-x^2-y^2=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2+y^2=5

il cui centro coincide con l'origine degli assi cartesiani, mentre il raggio è R=\sqrt{5}.

Una volta individuato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo occuparci della parte algebrica dell'esercizio: procederemo moltiplicando i due membri per il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente (sotto le condizioni di esistenza)

2x^2-5xy+2y^2=0

Proprio perché i monomi a sinistra hanno il medesimo grado (due), essa è un'equazione omogenea di grado 2 che possiamo risolvere dividendo i termini per x^2 e operando in seguito una sostituzione.

Prima di dividere per x^2 dobbiamo analizzare a parte il caso x=0: se l'incognita x vale zero allora necessariamente x^2 vale zero, di conseguenza l'equazione diventa

2y^2=0 \ \ \ \to \ \ \ y=0

Ricaviamo pertanto che (x,y)=(0,0) è soluzione dell'equazione.

Per x\ne 0, dividiamo i termini del primo membro per x^2

2\cdot\frac{x^2}{x^2}-5\cdot\frac{xy}{x^2}+2\cdot\frac{y^2}{x^2}=0

e in seguito semplifichiamo a dovere

2-5\cdot\frac{y}{x}+2\cdot\frac{y^2}{x^2}=0

A questo punto, operiamo la sostituzione t=\frac{y}{x}, grazie alla quale la precedente relazione si traduce nell'equazione di secondo grado nell'incognita ausiliaria t

2-5t+2t^2=0\ \ \ \to \ \ \ 2t^2-5t+2=0

Indicati con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di t^2, quello di t e il termine noto

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=-5 \ \ \ , \ \ \ c=2

calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9

e le soluzioni con la relazione

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}= \\ \\ \\ =\frac{5\pm 3}{4}=\begin{cases}\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}=t_1\\ \\ \frac{5+3}{4}=2=t_2\end{cases}

In definitiva, l'equazione in t è soddisfatta dai valori

t=\frac{1}{2}\ \ \ \ , \ \ \ t=2

A questo punto non ci resta che ripristinare le incognite x\ \mbox{e}\ y: poiché t=\frac{y}{x}, la relazione

t=\frac{1}{2}

si tramuta nell'equazione in due incognite

\frac{y}{x}=\frac{1}{2}\ \ \ \to \ \ \ r: \ y=\frac{x}{2}

Nel piano cartesiano, essa individua la retta con coefficiente angolare m_{r}=\frac{1}{2} e ordinata all'origine q_r=0.

La relazione t=2 diventa invece

\frac{y}{x}=2 \ \ \ \to \ \ \ s: \ y=2x

diventa cioè l'equazione della retta con coefficiente angolare m_{s}=2 e ordinata all'origine q_s=0.

Dei punti della rette r\ \mbox{e} \ s dobbiamo escludere quelli che non soddisfano le condizioni di esistenza, ossia quei punti delle rette che appartengono alla circonferenza di equazione

\Gamma:\ x^2+y^2=5

In altri termini escluderemo sia i punti di intersezione tra la retta r e la circonferenza \Gamma, sia i punti di intersezione tra la retta s e la circonferenza \Gamma. Dal punto di vista algebrico, dovremo semplicemente risolvere due sistemi

\begin{cases}y=\frac{x}{2}\\ \\ x^2+y^2=5\end{cases}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \begin{cases}y=2x\\ \\ x^2+y^2=5\end{cases}

Risolviamo il primo procedendo per sostituzione

\begin{cases}y=\frac{x}{2}\\ \\ x^2+y^2=5\end{cases}

Nella prima relazione, y è espressa in termini di x e dopo aver proceduto con la sostituzione, il sistema diventa

\begin{cases}y=\frac{x}{2}\\ \\ x^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2=5\end{cases}

da cui

\begin{cases}y=\frac{x}{2}\\ \\ \frac{5x^2}{4}=5\ \ \to \ \ \ x^2=4\ \ \ \to \ \ \ x=\pm2\end{cases}

Se x=-2, il corrispondente valore di y è

y=\frac{-2}{2}=-1

pertanto una soluzione del sistema è data dalla coppia ordinata A(x,y)=(-2,-1). Se x=2, il corrispondente valore di y è

y=\frac{2}{2}\ \ \ \to \ \ \ y=1

conseguentemente la coppia B(x,y)=(2,1) è un'ulteriore soluzione.

Consideriamo il secondo sistema

\begin{cases}y=2x\\ \\ x^2+y^2=5\end{cases}

Per risolverlo procederemo ancora una volta per sostituzione, rimpiazzando ogni occorrenza di y con 2x

\begin{cases}y=2x\\ \\ x^2+(2x)^2=5\end{cases}

da cui

\begin{cases}y=2x\\ \\ x^2=1 \ \ \ \to \ \ \ x=\pm 1\end{cases}

A x=-1 associamo il valore

y=2(-1)=-2

mentre a x=1 associamo il valore

y=2\cdot 1=2

pertanto le coppie che soddisfano il secondo sistema sono

C(-1,-2)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ D(1,2)

In conclusione, l'equazione in due incognite

\frac{2x^2-5x y+2y^2}{5-x^2-y^2}=0

è soddisfatta da tutti i punti che appartengono alle rette r\ \mbox{e} \ s: di equazione

r: \ y=\frac{x}{2}\ \ \ ,  \ \ \ s: \ y=2x

a eccezione dei punti

A(-2,-1)\ \ ,\ \ B(2,1) \ \ ,\ \ C(-1,-2)\ \ ,\ \ D(1,2)

Nel seguente grafico è rappresentato l'insieme delle soluzioni associato all'equazione data:

Esercizi equazioni in due incognite XXI

Ecco fatto!
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